Коэффициенты Стьюдента

Примечание. Число степеней свободы равно числу независимых величин Dxi. При расчете S из n значений только n-1 значений будут независимыми, т.к. величины Dxi связаны одним уравнением: Поэтому в данном случае число степеней свободы будет равно f = n-1.

Пример. При измерении размера детали штангенциркулем получены следующие результаты:

< x> =36, 15 мм å (Dxi)2 = 550× 10-4 мм

1. Результаты определения < x>, Dxi и å (Dxi)2 приведены в таблице. Таблица такого типа рекомендуется для удобства обработки результатов.

2. Находим среднеквадратичное отклонение по формуле (3)

мм.

Здесь общий множитель 10-2 заранее вынесен из-под знака корня.

3. Определяем по табл.2 коэффициент Стьюдента для a = 0.95 и f=6-1=5: t_{(0, 95; 5)} = 2.6. Предельное значение погрешности (доверительный интервал) с вероятностью (надежностью) 0, 95 равен

Dx = 2, 6× 4, 3× 10-2 = 0, 11 мм.

4. Так как полученная статистическая погрешность близка к погрешности штангенциркуля (0.1 мм), необходимо внести уточнения по формуле (6). Окончательное значение погрешности

мм.

5. Результат запишется в виде

x = 36, 15 ± 0, 15 мм, a = 0, 95.

Этот результат означает, что с вероятностью 0.95 истинное значение измеряемой величины лежит внутри интервала от 36.00 до 36.30 мм.

Погрешности косвенных измерений.

Часто оказывается, что искомая величина есть функция прямо измеряемых величин. Погрешность такой величины вычисляется через погрешности прямых измерений.

Случай одной переменной. Пусть искомая величина w есть некоторая известная функция прямо измеренной величины x, погрешность которой Dx, определена одним из указанных выше способов.

w = f(x)

Предполагая величину Dx малой, погрешность величины w можно найти как дифференциал функции:

Dw = fx’(x)× Dx (7)

где fx’(x) - производная функции f(x) по x.

Случай нескольких переменных. Пусть искомая величина w есть известная функция нескольких переменных x, y..., погрешности которых Dx, Dy... определены ранее одним из указанных выше способов:

w = f(x, y,...)

Тогда правило дифференцирования дает формулы

Dwx = fx’(x)× Dx

Dwy = fy’(x)× Dy, (8)

......

где fx’(x), fó ’(x),...- частные производные функции w = f(x, y,...) по переменным x, y, и т. д. Величины Dwx, Dwy,... нужно рассматривать как частные погрешности, возникающие за счет погрешности каждого аргумента в отдельности.

Однако нам известны не сами погрешности, а их предельные значения, которые пропорциональны среднеквадратичным отклонениям. Поэтому согласно правилу сложения дисперсий независимых величин необходимо суммировать не сами частные погрешности, а их квадраты.

(9)

Непосредственное суммирование частных погрешностей без учета знака дало бы завышенный результат по сравнению с формулой (9). Однако маловероятно, что все погрешности величин x, y, z одновременно достигнут предельного значения с одним знаком. При использовании формулы (9) доверительная вероятность Dw оказывается та же, что и доверительная вероятность погрешностей Dx, Dy,...

Рекомендуется следующий порядок расчета погрешностей:

1. Определяют погрешности прямых измерений одним из указанных выше способов.

2. Находят частные производные и определяют частные погрешности искомой величины по формуле (8).

3. Результирующую погрешность находят по формуле (9).

Пример. По результатам измерения диаметра цилиндра d=15, 5±0, 2 мм и высоты h=20, 0±0, 4 мм определить объём цилиндра V и погрешность его измерения DV.

Рабочая формула:

1. Находим объём цилиндра

V= м3

2. Находим частные погрешности

DV d = м3

DVh= м3

3. Находим результирующую погрешность

DV= м3

Ответ: V=(3, 77±0, 12)× 10-6, м3

Основные правила вычисления.

Точность производимых в эксперименте вычислений должна соответствовать точности измерений. Рассмотрим два числа: 0.0204 и 0.02040. Эти два числа имеют различную точность записи. Точность числа определяется числом значащих цифр. Значащей цифрой приближённого числа в десятичной записи называется любая цифра, кроме нулей, расположенных слева от первой ненулевой цифры. Так, в числе 0, 02040 четыре значащие цифры. Первые два нуля не являются значащими и служат для указания разряда. Значащими являются цифры 2, 0, 4 и нуль, расположенный справа. Этот нуль указывает на численное значение разряда. В числе 0.0204 три значащие цифры. Разряд 10 -5 в этом числе не определен.

Абсолютная погрешность записи числа равна половине единицы последнего приведенного в записи разряда. Так, число 0, 0204 могло получиться округлением любого числа в интервале 0, 0204±0, 00005. Следует помнить, что относительная точность числа определяется числом значащих цифр, а не числом знаков после запятой. Так, числа 0, 0204 (±0, 00005) и 20, 4 (±0, 05) имеют одинаковую точность, отличаясь лишь множителем 103.

В больших числах нули справа могут служить как для указания значащих цифр, так и для определения разряда числа. Так, число 689 000 в указанной записи может иметь от трех до шести значащих цифр. Поэтому большие числа рекомендуется представлять в виде числа порядка единицы с соответствующей степенью числа 10. Указанное выше число следует записать в виде 6, 89·105, если оно имеет три значащие цифры, или 6, 8900·105, если оно имеет пять значащих цифр. Таким же образом следует записывать и малые числа: 0, 00204 = 2, 04·10-3. Указанное правило облегчает вычисления с большими и малыми числами.

Таблица 3