Оценка погрешности.

Итак, оценим погрешность формулы (2.1) в какой-нибудь точке ХÎ [a, b], т.е. будем оценивать R(X), где R(x)=f(x)-P_n(x)

Обозначим многочлен степени (n+1) с корнями в узлах интерполирования через w(x):

и введем вспомогательную функцию: F(x)=f(x)-P_n(x)-b w(x) (2.2)

При этом коэффициент b в формуле (2.2) мы выберем так, чтобы выполнялось условие

F(X)=0, т.е. f(X)-P_n(X)=b w(X) или R(X)=b w(X) (2.3).

Мы можем без ограничений общности считать, что точка Х не совпадает ни с одним из узлов Хi, поскольку в них погрешность равна 0. В этом случае вспомогательная функция обращается в нуль не менее (n+2) раз на отрезке [a, b]: в точке X и в узлах интерполяции, т.к. w(X_i)=0 и f(X_i)= P_n(X_i).

Используем теорему Ролля, которая утверждает, что между любыми двумя нулями дифференцируемой функции найдется нуль производной, видим, что первая производная F'(x) должна обращаться в нуль на отрезке [a, b] не менее (n+1) раз.

Аналогично, вторая производная F''(x) обращается в нуль не менее n-раз на отрезке [a, b] и т.д.

Рассуждая подобным образом, мы установим, что функция F⁽ⁿ⁺¹⁾(x) обязательно обращается в нуль хотя бы один раз на отрезке [a, b].

Пусть F⁽ⁿ⁺¹⁾(d)=0. Дифференцируя формулу (2.2) (n+1) раз, получаем:

F⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)-0-b(n+1)!

откуда легко видеть, что:

f⁽ⁿ⁺¹⁾(d)=b(n+1)!, или b=f⁽ⁿ⁺¹⁾ (d)/(n+1)!

Подставляя полученное выражение в (2.3), видим:

R(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(d)w(x)/(n+1)!,

откуда уже легко произвести нужную оценку

(2.4)

справедливую для всех точек отрезка [a, b].

Упражнения: Пользуясь формулой (2.4) произвести оценку точности интерполяции при Х=1.5 в условиях:

2.4. Упражнения (2.2) и предположения M₃ < 10 на [1, 3]

2.5. Упражнения (2.3) и предположения M₄ < 16 на [-1, 2]

Преимущество данного метода наглядно проявляется при малом количестве узлов и достаточно гладкой функции. Вычисления на ЭВМ здесь организуются сравнительно просто.

Упражнение 2.6. Составить программу на одном из языков для вычисления значения интерполяционного многочлена в форме Лагранжа (формула(2.1)).

Упражнение 2.7. Дополнить предыдущую программу таким образом, чтобы в случае, когда известен максимум (n+1)-ой производной исходной функции, вычислялась оценка погрешности.