Критерий устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста - позволяет судить об устойчивости замкнутой АС по виду АФХ разомкнутого контура этой системы. Вывод критерия Найквиста базируется на критерии устойчивости Михайлова.

Пусть замкнутая АС описывается уравнением (3.1), которое можно переписать в виде:

(3.6)

где D(p) – характеристический полином.

- полином степени m (m < n).

Тогда [см. (2.4) при W_з(p) = 1], откуда

,

где - полином степени n.

Введём вспомогательную функцию

. (3.7)

Если , (3.8)

то . (3.9)

	Из (3.8) и (3.9) следует, что если начало вектора поместить в точку с координатами (-1, j0), как показано на рис. 3.2, то конец этого вектора при изменении ω от - до + опишет ту же кривую, что и конец вектора , т.е. амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы.
Рис. 3.2. АФХ векторов и

Представим полиномы и в виде:

; , тогда

(3.10)

где – аргумент вектора При изменении частоты ω от - до + вектор опишет, как указывалось, на плоскости UOV АФХ разомкнутой системы, совершив при этом поворот на угол ψ ₁, определяемый в соответствии с (3.10) разностью полных приращений аргументов характеристических полиномов и .

Найдём полное приращение аргумента вектора при изменении ω от - до + для различных видов АС при условии, что замкнутая АС устойчива, т.е. по критерию Михайлова, , при изменении ω от - до + .

Статическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии.

Это система, в состав которой входят только устойчивые позиционные звенья (все корни имеют отрицательные вещественные части). Тогда, применяя критерий Михайлова к , имеем ; и, следовательно, .

Т.е. вектор , описав АФХ разомкнутой системы, не должен совершить ни одного оборота вокруг своего начала координат, т.е. вокруг точки с координатами (-1, j0) (рис. 3.3), т.е. АФХ разомкнутого контура не охватывает точку с координатами (-1, j0). Если бы она охватывала эту точку, то , что соответствует пунктирной кривой на рис. 3.3.

Рис. 3.3. АФХ статической системы	Рис. 3.4. АФХ статической системы первого порядка

Отметим, что внутренняя область, ограниченная кривой , лежит справа от этой кривой при движении по ней в направлении возрастания частоты от 0 до и от - до 0, и ей не принадлежит точка с координатами (-1, j0).

Астатическая система 1-го порядка

Астатическая система содержит помимо устойчивых позиционных звеньев одно интегрирующее звено. Примерный вид АФХ разомкнутого контура системы астатизма первого порядка показан на рис. 3.4. Характеристический полином разомкнутого контура такой системы имеет вид:

.

имеет один корень = 0 и (n - 1) корней с отрицательной вещественной частью. По критерию Михайлова при изменения ω от - до + полное приращение аргумента этого полинома равно .

Тогда

Это означает, что вектор при изменении ω от 0 до и от - до 0 должен повернуться на угол π против часовой стрелки ( ψ ₁ > 0), как показано на рис. 3.4. Из рисунка видно, что АФХ рассматриваемой системы делит плоскость VOU на две области – «внутреннюю», лежащую справа от АФХ при движении по ней в направлении возрастания частоты, и «внешнюю», лежащую слева.

Таким образом, и для астатической АС первого порядка для устойчивой замкнутой системы АФХ разомкнутой системы не должна охватывать точку (-1, j0).

Астатическая система 2-го порядка

Астатическая система содержит кроме устойчивых позиционных звеньев два интегрирующих звена.

	Имеем два нулевых корня и (n - 2) корня с отрицательной вещественной частью. По критерию Михайлова Тогда Опять АФХ не охватывает точку (-1, j0).
Рис. 3.5. АФХ астатической системы второго порядка

Формулировка критерия Найквиста

Для устойчивости замкнутой АС, устойчивой в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутого контура этой системы, построенная при изменении частоты ω от - до + , не охватывала критическую точку с координатами (-1, j0).

Преимуществом критерия Найквиста перед критериями Гурвица и Михайлова является возможность использования его для определения устойчивости замкнутой системы по снятым экспериментально частотным характеристикам разомкнутой системы, когда ввиду сложности исследуемой системы трудно получить её дифференцированное уравнение.