Метод Крамера

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся :

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. (Правило Крамера) Система из n уравнений с n неизвестными

в случае если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и определяемое формулами:

, ,

где , а – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов

Если определитель , но хотя бы один из определителей , , то система не имеет решений (несовместна). Если и все , , то система требует дополнительного исследования.