Кривые второго порядка. К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

К кривым второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Окружность. Уравнение окружности с центром в точке С(x_o; y_o) радиуса R имеет вид

. (1)

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение (1) принимает вид:

(2)

Уравнение второй степени с двумя переменными, в котором отсутствует произведение , а коэффициенты при x² и y² равны, т.е. уравнение вида

(3)

также определяет окружность. Чтобы найти центр и радиус этой окружности, надо привести уравнение (3) к виду (1), сгруппировав члены, содержащие x и y и выделив полные квадраты.

Эллипс. Каноническое (т.е. простейшее) уравнение эллипса имеет вид:

(4)

Числа а и b называются полуосями эллипса (а – боль­шая полуось, b – малая полу­ось). Так же называются и отрезки соответствующей дли­ны: ОА₁ – большая полуось, ОВ₁ – малая полуось. Число 2а и отрезок А₁А₂ – большая ось; число 2b и В₁В₂ – малая ось.

Точки F₁(с; 0) и F₂(-с; 0) – фокусы эллипса. Параметры а, b и с связаны соотношением:

(5)

Число 2с (и отрезок F₁F₂) называется межфокусным расстоянием.

Все точки М эллипса удовлетворяют условию:

. (6)

Эксцентриситетом эллипса называют число

. (7)

Поскольку с < а, то эксцентриситет эллипса меньше единицы (e < 1). Если e = 0, то с = 0, т.е. фокусы эллипса сливаются и эллипс обращается в окружность.

Уравнение эллипса, центр которого находится в точке С(x_o; y_o), а оси параллельны осям координат, имеет вид:

(8)

Гипербола. Каноничес­кое уравнение гиперболы имеет вид:

(9)

Число а и отрезок ОА₁ называются действительной полуосью гиперболы; число b и отрезок ОВ₁ – мнимая полуось. Соответственно 2а и отрезок А₁А₂ – действительная ось, 2b и отрезок В₁В₂ – мнимая ось гиперболы, причём параметры а, b и с связаны соотношением:

. (10)

Все точки М гиперболы удовлетворяют условию

. (11)

Эксцентриситет гиперболы определяется по формуле

,

как и для эллипса, но поскольку для гиперболы с > а, то эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Гипербола имеет две прямые – асимптоты, – с которыми неограниченно сближаются (но не пересекают) её ветви. Уравнения асимптот:

, (12)

т.е. асимптоты гиперболы являются диагоналями прямоугольника со сторонами 2а и 2b.

Уравнение гиперболы с центром в точке С(x_o; y_o), оси которой параллельны осям координат, имеет вид:

(13)

Парабола. Каноническое урав­нение параболы имеет вид:

. (14)

Точка F(; 0) – фокус параболы, а прямая – её директриса.

Все точки М параболы удовлетворяют условию:

MF = MN. (15)

Уравнение параболы, вершина которой находится в точке С(x_o; y_o), а ось параллельна оси Ох (рис. 34), имеет вид:

(16)

Следует также знать уравнения парабол, расположенных в системе координат не каноническим образом, а именно: (рис. 35), (рис. 36) и (рис. 37).

Задача 1. Составить уравнение диаметра окружности

,

параллельного прямой .

Решение

Чтобы составить уравнение диаметра окружности надо найти координаты её центра. Для этого приведём уравнение окружности к виду (1):

,

т.е. центром окружности является точка С(2; -3), а её радиус R = 5.

Составляем уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой . Вектор нормали (5; -2) данной прямой будет вектором нормали и для искомой прямой, поэтому уравнение диаметра имеет вид:

.

Задача 2. Составить уравнение эллипса, каноническим образом расположенного в системе координат по следующим данным:

а) 2а = 8; 2с = 6;

б) 2с = 8; ;

в) а = 6 и точка М(2; 2 ) лежит на эллипсе;

г) и точка М(4 ; ) лежит на эллипсе.

Решение

Чтобы составить уравнение эллипса, надо найти его полуоси а и b.

а) По условию а = 4; с = 3. Поскольку а, b и с связаны соотношением , то . Подставляя в уравнение эллипса (4) = 16, = 7, получаем: .

б) По условию с = 4, а так как , то из условия имеем , откуда получаем: Þ . Параметр b находим из соотношения : , так что уравнение эллипса имеет вид:

.

в) По условию точка М(3; 2 ) лежит на эллипсе, следовательно её координаты удовлетворяют уравнению эллипса. Подставляя в уравнение эллипса вместо текущих координат координаты точки М и положив а = 6, имеем:

Þ Þ Þ .

Следовательно, уравнение этого эллипса имеет вид:

.

г) означает, что .

Координаты точки М удовлетворяют уравнению эллипса, т.е. .

Для определения параметров а, b и с имеем систему уравнений:

Из первого уравнения имеем: . Подставляя это выражение в третье уравнение, получаем: Þ .

Подставляем найденное во второе уравнение:

Þ Þ Þ .

Тогда Þ , следовательно, уравнение эллипса имеет вид: .

Задача 3. Для гиперболы найти полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения асимптот. Сделать чертёж.

Решение

Приведём уравнение гиперболы к виду . Для этого сгруппируем члены, содержащие x и y, вынося при этом коэффициенты при и за скобки, и дополним выражения в скобках до полного квадрата:

Þ

Þ

.

Разделив левую и правую части уравнения на 144, получаем:

.

Гипербола имеет центр в точке С(1; 2); её полуоси: а = 4; b = 3. Из соотношения находим с: Þ , т.е. с = 5, а значит эксцентриситет гиперболы . Чтобы было легче найти координаты фокусов и уравнения асимптот, целесообразно сначала построить гиперболу, помня при этом, что её асимптоты проходят через центр С(1; 2) и является диагоналями прямоугольника со сторонами 2а и 2b (рис. 38).

С помощью чертежа нетрудно усмотреть, что фокусы гиперболы находятся в точках F₁(6; 2) и F₂(-4; 2).

Угловые коэффициенты асимптот гиперболы

.

Обе прямые проходят через точку С(1; 2). Используя уравнение вида

,

находим: , откуда после преобразований получаем уравнения асимптот:

и .