Линейные операции над векторами

Векторная алгебра.

Аналитическая геометрия

Сборник задач по высшей математике

Ростов-на-Дону

2001 г.

УДК [514.742.2+514.12] (076.1)

ББК 22.151.5

В 26

Рецензент: начальник общенаучной кафедры филиала НГМА, доцент,

к.ф.-м.н. Н.Ю.Сафонцева

Составитель: Л.В. Сахарова

В26 Векторная алгебра. Аналитическая геометрия: Сборник задач по высшей математике / Новорос. гос. морская академия. – Ростов-на-Дону: ООО " ВУД", 2001 - 79 с.

Сборник содержит более 350 задач по разделам " Векторная алгебра" и " Аналитическая геометрия" курса высшей математики. Задачи сгруппированы в семь параграфов. В начале каждого параграфа содержится краткое изложение теоретического материала и решение некоторых типовых задач.

Сборник предназначен для проведения занятий по высшей математике и организации домашней самостоятельной работы курсантов.

Печатается по решению общенаучной кафедры филиала НГМА в г. Ростове-на-Дону

УДК [514.742.2+514.12] (076.1)

Ó Сахарова Л.В., 2001

Предисловие

Настоящее пособие соответствует программе курса высшей математики высших технических учебных заведений и содержит задачи различных уровней сложности по разделам " Векторная алгебра" и " Аналитическая геометрия". Материал разбит на семь параграфов. С учётом интересов студентов заочной формы обучения в начале каждого параграфа содержатся ключевые определения, формулы, необходимые для решения задач, и решения типовых примеров.

Количество задач, содержащихся в пособии, позволяет вариировать материал, используемый преподавателем для проведения занятий, домашних заданий и подготовки к выполнению типового расчётного задания.

Нумерация задач самостоятельна в каждом параграфе. Символика и терминология соответствуют учебным пособиям, рекомендуемым программой курса высшей математики.

Линейные операции над векторами

Вектором (или ) называют отрезок, концы которого рассматриваются в определённом порядке: точка А – начальная, точка В – конечная (рис. 1).

Если конечная точка вектора совпадает с начальной, то вектор называется нулевым или нуль-вектором.

Длина вектора , т.е. расстояние между его начальной и конечной точками, называется модулем этого вектора и обозначается символом (или ).

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Для коллинеарных векторов можно указать прямую, которой они параллельны.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Если такие векторы отнести к общему началу, то они будут лежать в одной плоскости.

Два вектора и называются равными ( = ), если выполняются следующие три условия: 1) векторы коллинеарны ( || ); 2) векторы и одинаково направлены (сонаправлены); 3) длины этих векторов равны ( = ).

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, векторы не будут равны.

Из векторов, изображённых на рис. 2 (в круг вписан правильный 6-угольник ABCDEF), равными будут лишь две пары векторов: = и = . Остальные либо не параллельны, хотя могут иметь и одинаковые длины (например, , , , ), либо параллельны, но противоположно направлены (например, и , и , и , и ), либо вообще имеют разные длины.