Основные законы магнитного поля постоянных токов

Основным законом, характеризующим свойства магнитного поля, является закон полного тока, который устанавливает связь между напряженностью магнитного поля и током [4, 5]

. (1.11)

Соотношение (1.11) показывает, что циркуляция вектора напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру L равна полному току через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром. В случае, когда контур интегрирования охватывает несколько проводников произвольной формы, несущих токи , соотношение (1.11) принимает вид

. (1.12)

Дифференциальной формой записи закона полного тока является выражение, которое устанавливает связь между ротором напряженности магнитного поля и плотностью тока в этой же точке,

, (1.13)

где - вектор плотности тока.

Выражение (1.13) носит название первого уравнения Максвелла. Оно указывает на то, что магнитное поле является вихревым. В вихревом поле работа сил поля по замкнутым кривым не всегда равна нулю.

Ротор вектора напряженности характеризуется пределом отношения линейного интеграла этого вектора по замкнутому контуру вокруг элементарного участка поверхности DS к площади этой поверхности при стремлении ее размеров к нулю . При этом поверхность расположена так, чтобы это отношение имело максимальное значение.

Ротор любого вектора, используемого в теории электромагнитного поля, можно записать в виде определителя третьего порядка. Так, в декартовой системе координат имеет следующий вид .

Опытом установлено, что магнитный поток сквозь замкнутую поверхность всегда равен нулю, т.е. поток, входящий в объем, ограниченной некоторой поверхностью, всегда равен потоку выходящему из этого объема [1]

. (1.14)

Данная формула выражает принцип непрерывности магнитного потока в интегральной форме. В любой точке магнитного поля нет ни истока, ни стока линий вектора магнитной индукции, т.е. магнитные силовые линии не могут ни начинаться, ни заканчиваться. Такие поля принято называть соленоидальными. Выражение (1.14) в дифференциальной форме имеет вид

. (1.15)

Дивергенцией называется предел, к которому стремится отношение полного потока вектора через замкнутую поверхность объема DV к этому объему при уменьшении его до бесконечно малого значения - . Выражение для дивергенции в декартовой системе координат имеет вид .

Картина магнитного поля графически изображается с помощью линий магнитной индукции , которые всегда замкнуты либо уходят в бесконечность. Таким образом, пользуясь уравнениями (1.13), (1.15), можно рассчитать магнитное поле. Для области, не занятой токами (вне проводников с токами), , поэтому уравнения принимают следующий вид

, . (1.16)

Следовательно, поле в области, не занятой токами, можно рассматривать как потенциальное и характеризовать скалярной функцией , положив . Величину называют скалярным магнитным потенциалом. Потенциальное поле называется также безвихревым.

Если требуется определить напряженность магнитного поля по заданной плотности тока , то непосредственное решение первого уравнения Максвелла может привести к сложным расчетам. В этом случае удобно определить величину , которая называется векторным магнитным потенциалом и связана с величиной соотношением

. (1.17)

Так как написанное выражение определяет векторный потенциал не однозначно, надо задать дивергенцию . Удобно положить . Если подставить в первое уравнение Максвелла вместо напряженности магнитного поля равную ей величину , то получим

. (1.18)

Известно, что , где - оператор Лапласа [5]. С учетом того, что , уравнение (1.18) примет вид

. (1.19)

Уравнение (1.19) – векторное уравнение Пуассона, а для точек, где , имеет место векторное уравнение Лапласа

. (1.20)

Каждое из этих векторных уравнений распадается на три скалярных уравнения

; ;

; ;

; .

Решение уравнения (1.19) может быть записано в виде

, (1.21)

где r – расстояние от точки, в которой определяется векторный потенциал, до элементов объема dV, на которые разбит весь объем V. Этим решением удобно пользоваться тогда, когда интеграл легко вычисляется.

Подынтегральное выражение (1.21) можно истолковать как бесконечно малый векторный потенциал , обусловленный элементом тока

. (1.22)

Если поле определяется на расстоянии r, значительно превышающем линейные размеры сечения S провода с током и практически равном расстоянию от оси провода (такой ток называют линейным), то элемент этого тока

. (1.23)

В этом случае выражение (1.22) приобретает вид

. (1.24)

Уравнения (1.22) и (1.24) показывают, что вектор параллелен элементу тока и зависит только от расстояния r.

Тогда напряженность магнитного поля от элемента линейного тока

.

Из векторной алгебры известно, что . Если принять и учесть, что и как ротор постоянного вектора, то получим выражение

. (1.25)

Выражение (1.25) является известным из курса физики законом Био-Савара.

Если среда состоит из различных кусочно-однородных в магнитном отношении областей, то решение (1.21) неприменимо. В этом случае каждая область описывается своим векторным потенциалом, который надо находить из уравнения Лапласа (если в области нет токов) или из уравнения Пуассона. Отдельные решения должны удовлетворять граничным условиям.