Косой изгиб. Определение внутренних усилий. Напряжения. Нейтральная ось

Косым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. Элемент бруса, примыкающий к этому сечению, находится в условиях косого изгиба.

Определение внутренних усилий при косом изгибе

Рис.7.5

При косом изгибе в поперечных сечениях бруса действуют следующие внутренние усилия: Mz, My – изгибающие моменты и Qy, Qz –поперечные (перерезывающие) силы. Это легко показать мысленно рассекая стержень и определяя внутренние усилия при косом изгибе консольной балки под действием сосредоточенной силы F на свободном конце (см. рис.7.5):

Правило знаков для внутренних усилий: изгибающие моменты – положительны, если вызывают растяжение в положительном квадранте координатной системы zOy; поперечные силы – положительны, если под их действием отсеченный элемент поворачивается по часовой стрелке. Таким образом, косой изгиб может быть представлен как совместное действие двух плоских изгибов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях инерции.

Для определения полного изгибающего момента M и полной поперечной силы Q при косом изгибе достаточно определить внутренние усилия для каждого из плоских изгибов в отдельности (то есть Qy, Mz и Qz, My), а затем найти их векторную сумму:

,

Определение напряжений при косом изгибе

Используя принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции) найдем напряжения при косом изгибе. Рассмотрим точку A с координатами (y, z) в сечении изгибаемой балки и определим в ней напряжения от каждого из внутренних усилий, возникающих при косом изгибе:

нормальные напряжения от изгибающего момента Mz: ;

нормальные напряжения от изгибающего момента My: ;

касательные напряжения от поперечной силы Qy: ;

касательные напряжения от поперечной силы Qz: ; (7.6)

Полные напряжения σ и τ при косом изгибе найдем путем геометрического суммирования составляющих

а) касательных ; (7.7)б) нормальных

.

Последнюю формулу удобно представить в виде

, или где – угол наклона силовой плоскости P при косом изгибе (а при сложном изгибе – угол наклона плоскости действия полного изгибающего момента M в данном сечении).

Нейтральная ось – линия, во всех точках которой нормальные напряжения равны нулю. При этом в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси нормальные напряжения принимают свои экстремальные значения – минимум и максимум.

Заметим, что при плоском изгибе нейтральная ось совпадала с одной из главных осей сечения (Oy или Oz), при косом же изгибе это не так. Выведем формулу для определения положения нейтральной оси при косом изгибе.

Так как σ =0, то можем записать:

Отсюда найдем уравнение нейтральной оси: (7.10)

Более удобно записать это уравнение через угол наклона нейтральной линии к оси Oz: (7.11)

Знак «минус» в этой формуле показывает, что углы и откладываются от разноименных осей, но в одном направлении. Как видим, в случае, когда Jz ≠ Jy, углы и не равны друг другу, а, значит, и плоскость кривизны (плоскость максимальных прогибов) бруса не будет совпадать с плоскостью действия сил. Поэтому такой изгиб и назван «косым».