Доведення.

Доведення.

Доведемо, наприклад, що всяке парне число, яке задовольняє нерівність , можна представити у вигляді суми двох простих чисел. Оскільки таких чисел скінчене число, то це твердження можна довести методом повної індукції, розглянувши всі можливі випадки:

4=2+2; 10=3+7; 16=5+11; 22=5+17; 28=5+23;

6=3+3; 12=5+7; 18=5+13; 24=7+17; 30=7+23;

8=3+5; 14=3+11; 20=3+17; 26=13+13; 32=29+3.

Твердження доведено.

Приклад №2

Довести, що коли n – довільне число, то серед трьох чисел n, n+10, n+14 обов’язково є число, яке ділиться на 3.

Доведення.

Зазначимо, що довільне число n або ділиться на 3, або дає при діленні на 3 остачу, що дорівнює 1 або 2.

n=3k або n=3k+1, або n=3k+2. Тому розглянемо відповідні три випадки:

1) n=3k, тобто , де k – натуральне число.

У цьому випадку твердження виконується – одне з чисел (число n) ділиться на 3;

2) n дає при діленні на 3 остачу 1, тобто n=3k+1.

Тоді , твердження виконується;

3) n дає при діленні на 3 остачу 2, тобто n=3k+2.

Тоді n+10=3k+2+10=3k+13=3(k+4) 3.

Отже, в усіх можливих випадках одне з даних чисел ділиться на 3 і тому твердження доведено.

Приклад №3

Довести, що при кожному цілому n число .