Нелинейные регрессии и их характеристика.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

– полиномы различных степеней –

– равносторонняя гипербола –

–полулогарифмическая функция – .

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

– степенная – ;

– показательная – ;

– экспоненциальная – .

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.

Так, парабола второй степени приводится к линейному виду с помощью замены: x=x₁, x²=x₂. В результате приходим к двухфакторному уравнению , оценка параметров которого при помощи МНК

Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется формулой

Y = A X^β , где А и β. параметры модели (т. е. константы, подлежащие определению).

Стандартным и широко используемым подходом к анализу функций данного рода в эконометрике является логарифмирование по экспоненте

Прологарифмировав обе части, имеем: lnY = lnA + β lnX.

После замены lnA = β ₀, примет вид: lnY = β ₀ + β lnX.

С целью статистической оценки коэффициентов добавим в модель случайную погрешность ε и получим так называемую двойную

логарифмическую модель: lnY = β ₀ + β lnX + ε.

Не являясь линейным относительно X и Y, данное уравнение является линейным относительно lnX и lnY, а также относительно параметров β ₀ и β. Вводя замены Y* = lnY и X* = lnX, можно переписать в виде: Y= β 0+ β X+ ε

Модель является линейной моделью. Если все необходимые предпосылки классической линейной регрессионной модели выполнены, то по МНК можно определить наилучшие линейные несмещенные оценки коэффициентов β 0 и β.

Отметим, что коэффициент β определяет эластичность перемен-

ной Y по переменной Х, т. е. процентное изменение Y для данного

процентного изменения Х.