Теоретическая и выборочная ковариация. Коэффициент корреляции

Для описания связи между СВ X и Y применяют центральный

момент порядка 1, 1 (μ _{1, 1}), который называется ковариацией СВ Х и Y:

σ xy = COV (X, Y) = M((X − M(X))(Y − M(Y)) = M(XY) − M(X)M(Y).

Ковариация является абсолютной (зависящей от размерностей)

мерой взаимосвязи (совместного изменения (co-vary)) переменных.

Свойства Ковариации:

1.

2. D(X)=

3. Если Х и У независимые СВ, то

4.

5.

Оценкой теоретической ковариации является выборочная ковариация:

Cov(x; y)> 0-связь есть и она положительная

Cov(x; y)< 0-связь есть, но она отрицательная,

Cov(x; y)=0-связь отсутствует

В принципе ковариация может служить индикатором наличия

связи между СВ − ковариация в этом случае положительна либо отрицательна. Однако существенным недостатком ковариации является ее зависимость от размерностей рассматриваемых СВ. Поэтому при различных единицах измерения СВ одна и та же зависимость может выражаться различными значениями ковариаций. Кроме того, ковариация не позволяет определить силы (строгости) зависимости между рассматриваемыми СВ. Для устранения данных недостатков вводится относительная мера взаимосвязи (безразмерная величина) − коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции СВ Х и Y называют величину

Зависимость между СВ Х и Y, характеризуемая коэффициентом

корреляции, называется корреляцией. СВ Х и Y называются некоррелированными, если ρ xy = 0, что равносильно равенству σ xy = 0. Если

же ρ xy ≠ 0, то СВ X и Y называют коррелированными.

Свойства коэффициента корреляции

1. ρ xx = 1;

2. ρ xy = ρ yx;

3. 1 ≤ ρ xy ≤ 1;

4. Если СВ Х и Y независимы, то ρ xy = 0;

5. |ρ xy| = 1 тогда и только тогда, когда Y = a + b⋅ x (т.е. между СВ

Х и Y существует линейная функциональная зависимость).

Заметим, что если Х и Y − независимые СВ, то Х и Y − некоррелированные СВ. Обратное утверждение неверно.

выборочный коэффициент корреляции rxy

справедливы следующие свойства:

1. Если между СВ Χ и Υ существует положительная (отрицательная) линейная зависимость, то r_xy > 0 (r_xy < 0).

2. Выборочный коэффициент корреляции r_xy является безразмерной величиной.

3. − 1 ≤ r_xy ≤ 1.

4. Если между СВ Χ и Υ отсутствует линейная связь, то r_xy = 0.

5. Чем ближе r_xy по модулю к 1, тем сильнее линейная связь между Χ и Υ.

Если r(x; y)=+1- связь линейная максимально положительная.

Если r(x; y)=-1- св. линейная максимально отрицательная.

Если r(x; y) не =0 и не =1- связь существует, но носит в определенной степени нелинейный характер.

Если r> 0, 9-абсолютная, r [0, 7-0, 9]-сильная, r[0.5-0.7]-средняя, r[0.3-0.5[-удовлетворительная, r[0.1-0.3[-слабая, r< 0.1- отсутствует.