Решения к тренировочным заданиям

Решения (ответы) к тренировочным заданиям главы 2

Задача 1.

Числовая схема отчетного МОБ приведена в следующей таблице.

Таблица

Показатели отчетного МОБ (млн.руб.)

Материальные затраты первой, второй и третьей отраслей составляют соответственно: МЗ₁=160(млн.руб.), МЗ₂=100(млн.руб.), МЗ₃=90(млн.руб.).

Задача 2.

Матрица прямых затрат представляет матрицу вида:

А^отч=( =

Исходя из экономического смысла матрицы прямых затрат, первый столбец матрицы показывает, что для производства валовой продукции промышленности на сумму 1 млн.руб. необходимо израсходовать валовой продукции промышленности на сумму 320 тыс.руб, прочих отраслей материального производства на сумму 250 тыс.руб., и услуг на сумму 180 тыс. руб. Аналогичный смысл имеют другие коэффициенты матрицы.

Материалоемкости первой, второй и третьей отраслей составляют соответственно: МЕ₁=0, 57 млн.руб./млн.руб., МЕ₂=0, 38 млн.руб./млн.руб., МЕ₃= 0, 53 млн.руб./млн.руб.

Матрицу полных затрат находим средствами Ехсеl:

Элементы первого столбца матрицы В показывают, что при производстве конечной продукции промышленности на сумму 1 млн.руб необходимо израсходовать валовой продукции промышленности на сумму 1, 9 млн.руб., валовой продукции прочих отраслей материального производства на сумму –0, 81 млн.руб., и услуг на сумму 0, 6 млн.руб. Аналогичную интерпретацию имеют другие столбцы.

Задача 3.

Модель для решения задачи представляет собой следующую систему одновременных уравнений:

После приведения подобных и решения системы уравнений с помощью ППП, получим валовой выпуск отраслей в сопоставимых ценах 257, 3 млн. руб., 257, 9 млн. руб., 188 млн. руб.

Таким образом, при полученных объемах производства валовой продукции отраслей будет обеспечена сбалансированность с заданным конечным спросом на продукцию отраслей при условии, что индексы цен и технология производства прогнозного периода остаются неизменными в сравнении с отчетным периодом.

Задача 4.

Балансовая модель для заданных условий после приведения подобных примет вид:

Методом прямого счета нетрудно определить конечное использование продукции отраслей: млн. руб., млн. руб., млн. руб. Тогда ВВП можно определить как сумму поставок всех отраслей для целей конечного использования: = 255 млн. руб.

При заданном валовом выпуске отраслей, неизменной технологии и отсутствии инфляции, в прогнозном периоде можно ожидать производство ВВП на сумму 255 млн. руб.

Задача 5.

Модель для решения задачи имеет вид:

После решения системы уравнений с помощью ППП, получим = 28, 3 млн. руб., 80, 1 млн. руб., 48, 7 млн. руб.

Для обеспечения заданного конечного спроса на продукцию отраслей при ограничении на производство ресурсов необходимо производство продукции в объеме 208, 7 млн. руб., в том числе продукции первой отрасли на 80 млн. руб., второй – 80, 1 млн. руб., третьей – 48, 7 млн. руб.

Задача 6.

Модель задачи после приведения подобных имеет вид:

-124, 2 р₁ +50 р₃ =-140

50 р_{1 —} 95, 4 р₃ =-80

Результатом решения системы с помощью ППП является р₁ = 1, 86, и р₃= 1, 82. Результатом увеличения индекса цен на продукцию второй отрасли в 2 раза при условии, что номинальный рост заработной платы во всех отраслях отстает от роста цен на 20% при прочих неизменных условиях, является увеличение цены на продукцию первой отрасли на 86%, второй – 82 %.

Задача 7.

После приведения подобных модель имеет вид:

-141 р₁ +70 р₂ +50 р₃ =-31, 5

40 р₁ -130 р₂ +60 р₃ =-30

50 р₁ +40 р₂ -108 р₃ =-18

После решения системы с помощью ППП, получаем р₁=1, 17, р₂ =1, 1, р₃=1, 12. Увеличение заработной платы в первой отрасли на 50% при прочих неизменных условиях вызовет в исследуемой экономике рост цен на продукцию первой отрасли на 17%, второй – на 10%, третьей – на 12%.

Решения (ответы) к тренировочным заданиям главы 3

Задача 1.

Оптимизационная модель для решения задачи имеет вид:

20 x₁ +25 x₂ ® max

6 x₁ +10 x₂ £ 660

0, 5x₁ +0, 3 x₂ £ 47

x₁ ³ 0, x₂ ³ 0.

В результате решения модели получаем оптимальное решение ()=(85, 15), и соответствующее ему значение функционала =2075. Особенность полученного решения ()=(85, 15) состоит в том, что в рамках заданных ограничений на ресурсы, структура производственной программы, на которой обеспечивается наибольшая выручка от реализации =2075 у.е., определяет суточный объем производства продукции I вида – 85 единиц, объем производства продукции II вида — 15 единиц. Не существует, в рамках заданных ограничений, производственной программы, на которой бы достигалась выручка от реализации больше, чем 2075 у.е. Для данной задачи получены следующие двойственные оценки (z_1, z₂, z₃)= (2; 15, 6; 0). Среди заданных ресурсов наибольшим ограничителем увеличения выручки от реализации является второй ресурс (древесина), который имеет наибольшую двойственную оценку –15, 6. Следовательно, увеличение запаса именно этого ресурса наиболее целесообразно с точки зрения увеличения выручки. Однако следует иметь ввиду, что увеличение запаса этого ресурса приведет к увеличению выручки посредством изменения оптимальной производственной программы. Поэтому в случае изменения этого ресурса оптимальная производственная программа должна быть пересчитана. В то же время выручку от реализации не изменит увеличение запаса стекла (поскольку его двойственная оценка равна 0), поэтому увеличение запаса стекла по сравнению с объемом 45 кв.м. не повлияет на оптимальную производственную программу.

Задача 2.

Каждого поставщика А₁, А₂ разобъем на два условных поставщика (А₁^г А₁^с), (А₂^г А₂^с), которые поставляют соответственно глиняный и силикатный кирпич. Каждого потребителя В₁, В₂ разобъем на три условных потребителя (В₁^г В₁^с В₁^л), (В₂^г В₂^с В₂^л), которые потребляют соответственно глиняный, силикатный, и любой кирпич. В соответствии с этим разбиением составим матрицу расстояний, заблокировав заведомо большими числами маршруты, по которым поситавка не может быть осуществлена.

Таблица

Матрица расстояний с учетом взаимозаменяемости материалов (км)

Для данной матрицы модель имеет следующий вид.

Ограничения на мощности заводов по производству силикатного кирпича выполняются:

Ограничения на мощности заводов по производству глиняного кирпича выполняются:

Потребности первого потребителя в силикатном, глиняном, и кирпиче любого вида выполняются:

Потребности второго потребителя в силикатном, глиняном, и кирпиче любого вида выполняются:

величина поставок не может быть отрицательной величиной:

Целевая функция характеризует минимум транспортной работы по перевозке грузов от всех поставщиков всем потребителям:

Результатом решения модели является следующий оптимальный план поставок:

Таблица

Оптимальный план поставок

Из оптимального плана видно, что потребитель В₁ обеспечивается кирпичом от поставщика А₁, а потребитель В₂ обеспечивается кирпичом от поставщика А₂.

Задача 3.

Для решения задачи требуется оценить матрицу затрат. Поскольку все показатели задачи даны в млн. шт., то оценку проведем ориентируясь на эту величину. Вначале оценим стоимость перевозки 1 млн.шт. кирпича от каждого поставщика потребителям:

Таблица

Транспортные затраты по перевозке 1млн.шт. кирпича (тыс.у.е.)

Далее рассчитываем производственные затраты на 1млн.шт. кирпича на предприятиях 1, 2:

Таблица

Производственные затраты по производству 1млн.шт. кирпича(тыс.у.е.)

Далее, используя матрицы транспортных и производственных затрат, сформируем матрицу производственно-транспортных затрат:

Таблица

Производственно-транспортные затраты по производству и доставке 1млн.шт. кирпича(тыс.у.е.)

Для данной матрицы модель имеет следующий вид.

Ограничения на мощности заводов по производству кирпича выполняются:

Потребности потребителей в кирпиче выполняются:

величина поставок не может быть отрицательной величиной:

Целевая функция характеризует минимум производственно-транспортных затрат по производству и перевозке кирпича:

.

Результатом решения модели является следующий оптимальный план поставок:

Оптимальный план поставок (млн.шт.)

Полученное решение характеризует не только оптимальный план поставок, но и позволяет рассчитать оптимальную мощность каждого предприятия: мощность первого предприятия составит: 300 млн.шт. (180+120), второго предприятия – 300 млн.шт. (100+200).

Задача 4.

Входную информацию задачи удобно представить в виде следующей таблицы:

Таблица

Количество стержней по вариантам разреза заготовок

Далее введем обозначения: x_i-количество исходных заготовок, которое должно быть разрезано по i-му варианту. В этих обозначениях количество стержней длиной 2, 9м по всем вариантам разреза будет определяться по формуле , количество стержней длиной 2, 1 — + , количество стержней длиной 1, 5м – . Из этих обозначений понятно, что величина -100 — есть количество вынужденных заготовок длиной 2, 9м, есть количество вынужденных заготовок длиной 2, 1 м, - есть количество вынужденных заготовок длиной 1, 5 м.

Тогда формальное описание целевой функции может быть следующим.

Минимум концевых отходов и вынужденно излишних стержней

при выполнении следующих условий:

число стержней размера 2, 9м должно быть равно 100

число стержней размера 2, 1м должно быть равно 100

число стержней размера1, 5м должно быть равно 100

количество стержней по каждому варианту неотрицательное целое число

-целое

количество вынужденных остатков неотрицательное число

После решения задачи с помощью ППП получаем: x₁ =35, x₂=25, x₃=5, x₆=25, т.е. в соответствии с оптимальным планом предусматривается 35 заготовок разрезать по первому варианту, 25 – по второму, 5 – по третьему и 25 – по шестому. При этом величина остатков составит 16м, вынужденных остатков 0.

Задача 6.

Оптимизационная модель данной задачи имеет вид:

f(x) = 55 x₁ +30 x₂ → max.

9 х₁ + 7 х₂ ≤ 630

15 х₁ +23 х₂ ≤ 1725

3 х₁ + х₂ ≤ 150

х_j ≥ 0, (j= .

В результате решения графическим методом получаем оптимальный план = (35; 45) и соответствующее ему значение целевой функции f_max =3275. Итак, предприятию по оптимальному плану следует производить 35 единиц изделий вида А и 45 единиц изделий вида Б. При этом прибыль предприятия составит 3275 рублей.

Задача 7.

Оптимизационная модель данной задачи имеет вид:

f(x) = 7, 5*30 x₁ +5, 5*45 x₂ =225 x₁ +247, 5 x₂ → max.

х₁ + х₂ ≤ 600

5 х₁ +10 х₂ ≤ 4000

х_j ≥ 0, (j= .

В результате решения графическим методом получаем оптимальный план =(400, 200) и соответствующее ему значение целевой функции f_max =139500. Таким образом, чтобы обеспечить максимум валовой продукции в стоимостном выражении равной 139500 ден.ед. при заданных условиях, необходимо засеять под пшеницу 400 га и под кукурузу 200 га.

Задача 8.

Модели двойственных задач к исходным примут следующий вид:

а) j = 29y1+65y2 +38y3 → min 4y1 + 3y2 +5y3 ≥ 29 5y1 — y2 +2y3 ≥ 65 3y1 +15y2 ≥ 38 yi ≥ 0 (i = )

б) j = 8y1 — 10y2 +6y3 → max 2y1 — 3y2 + 5y3 ≤ 3 4y1 — y2 — 2y3 = 2 -y1 -3y2 +4y3 ≤ -2 yi ≥ 0 (i = )

Задача 9.

Модель данной задачи примет следующий вид:

f(x) = 60 x₁ +40 x₂ → max.

16 х₁ + 28 х₂ ≤ 760

16 х₁ + 8 х₂ ≤ 560

8 х₁ + 21 х₂ ≤ 455

х_j ≥ 0, (j= .

В результате решения задачи симплексным методом будет получен оптимальный план =(30; 10; 0; 0; 5) и значение целевой функции f_max =2200. Итак, предприятие получит максимально возможный доход равный 220 ден.ед. если будет производить 30 единиц продукции вида А₁ и 10 единиц продукции А₂, при этом материалы сортов В₁ и В₂ будут израсходованы полностью, а материал сорта В₃ останется в количестве 5 единиц.

Построим модель двойственной задачи:

φ = 760 у₁ + 560 у₂ + 455 у₃ → min

16у₁ + 16 у₂ + 8у₃ ≥ 60

28у₁ + 8у₂ + 21у₃ ≥ 40

у_i ≥ 0, (i = ).

Выписав решение двойственной задачи из последней симплексной таблицы мы получим = (0, 05; 0, 325; 0; 0; 0) и φ _min = 2200. Итак: а) Предположив, что увеличение материала сорта В₁ (он является дефицитным ресурсом) находится в границах устойчивости, можно сказать, что доход в этом случае увеличится (по третьей теореме двойственности) на ∆ f_max = ∆ b₁∙ у₁^*=∆ b₁∙ 0, 05. В противном случае ничего определенного сказать нельзя, пока не решим новую задачу; b) Новый вид продукции целесообразно вводить в план производства.

Задача 10.

Сформулируем экономико-математическую модель исходной задачи: пусть х_j (j= ) ¾ количество продукции каждого вида, тогда можно записать модель:

f = 3х₁+ 4х₂+ 3х₃+ х₄ → max.

7 х₁ + 2х₂ + 2х₃ + 6х₄ ≤ 80,

5 х₁ + 8х₂ + 4х₃ + 3х₄ ≤ 480,

2 х₁ + 4х₂ + х₃ + 8х₄ ≤ 130.

х_j ≥ 0, (j= .

Предложенный для анализа план х₁=0, х₂=30, х₃=10 и х₄=0 является допустимым решением, при этом ресурсы материала 1 и материала 3 используются полностью, а расход материала 2 составит 280 единиц и, следовательно, останется избыток его в количестве 480-280 = 200 единиц. Полученная прибыль для этого плана составит f = 3·0+4·30+3·10+1·0 = 150 денежных единиц.

Сформулируем экономико-математическую модель двойственной задачи по отношению к исходной. Пусть у₁, у₂, у₃ ¾ двойственные оценки трехвидов материалов соответственно, тогда модель запишем в следующем виде:

φ = 80 у₁ + 480 у₂ + 130 у₃ → min

7у₁ + 5 у₂ + 2у₃ ≥ 3

2у₁ + 8у₂ + 4у₃ ≥ 4

2у₁ + 4у₂ + у₃ ≥ 3

6у₁ + 3у₂ + 8у₃ ≥ 1

у_i ≥ 0, i = .

Воспользуемся соотношениями (3.1.24) и (3.1.25) второй теоремой двойственности. Из соотношения (3.1.24) следует, что так как х₂=30 и х₃=10, то соответствующее второе и третье ограничения двойственной задачи обращаются в строгие равенства:

2у₁ + 8у₂ + 4у₃ = 4

2у₁ + 4у₂ + у₃ = 3.

Из соотношения (3.1.25) следует, что так как материал 2 расходуется не полностью, то его соответствующая двойственная оценка равна нулю, т.е. у₂=0. Подставляя это значение в приведенные выше равенства и решая полученную систему двух уравнений будем иметь: у₁= ; у₃= . Для найденных значений переменных двойственной задачи вычисляем значение целевой функции этой задачи: φ = 80· +480·0+130· = 150.

Сопоставляя значения целевых функций обеих задач, мы видим, что для рассматриваемого варианта производственного плана f = φ = 150, следовательно, по первой теореме двойственности этот вариант действительно является оптимальным и дает максимальную прибыль в размере 150 денежных единиц. По двойственным оценкам можно сделать вывод о степени дефицитности материалов: Материал 2 является недефицитным, а материалы 1 и 3 являются дефицитными, при этом более дефицитным является материал 1.

Чтобы получить ответ на последний вопрос в этой задаче, воспользуемся выводом из третьей теоремы двойственности. Считая, что предполагаемые изменения объемов имеющихся ресурсов материалов находятся в пределах интервала устойчивости оптимального решения, определим, что ∆ f =3· +(-10)·0+(-6)· = 2, т.е. данные изменения объемов ресурсов приведут к увеличению максимальной прибыли на 2 единицы, в результате чего она составит 152 денежных единиц. Если же предполагаемые изменения объемов имеющихся ресурсов материалов находятся за пределами интервала устойчивости оптимального решения, то ничего определенного сказать нельзя, пока не решим обновленную задачу.

Решения (ответы) к тренировочным заданиям главы 4

Задача 1.

Для определения вида зависимости построим диаграмму рассеяния по имеющимся данным.

Расположение точек на диаграмме рассеяния позволяет предположить линейную связь между инвестициями и объемом производства. Поэтому имеет смысл искать зависимость в виде линейной функции: . Очевидно также, что данная зависимость прямая: с увеличением объема производства увеличиваются и инвестиции.

Согласно формулам имеем регрессионное уравнение вида: . Изобразим данную регрессионную прямую на диаграмме рассеяния, например, по двум точкам (0; 3, 43) и (150; 143, 5).

Рассчитаем статистические характеристики уравнения: в ручном режиме – на основе рабочей таблицы, в автоматизированном – с помощью Анализа данных. В результате имеем следующую модель:

Исходя из экономического смысла параметра регрессии следует, что при увеличении объема производства на 1 млн.шт. объем инвестиций увеличится на 0, 934 тыс.у.е. Поскольку связь между показателями прямая, то при снижении объема производства на 1 млн.шт. инвестиции уменьшатся на 0, 934 тыс.у.е., при снижении на 2 млн.шт. инвестиции уменьшатся 1, 87 тыс.у.е.

Поскольку свободный член регрессионной модели незначим, а все остальные характеристики удовлетворительные, то для прогноза может быть использовано следующее уравнение:

.

Поскольку в прогнозном периоде предполагается объем производства 160 млн.шт., то при условии неизменной динамики прочих факторов инвестиции предприятия в среднем составят (тыс.у.е.).

Задача 2.

В результате расчета имеем следующую модель:

Исходя из экономического смысла коэффициента регрессии следует, что при увеличении ставки налога на 2 пп. прибыль уменьшится на 4, 2 тыс.у.е.; при уменьшении ставки налога на 1 пп. прибыль увеличится на 2, 1 тыс.у.е.

Поскольку все параметры регрессии статистически значимые, прибыль при ставке налога 33% можно рассчитать: (тыс.у.е.).

Задача 3.

В начале рассчитаем параметры линейной формы связи (см. решение предыдущей задачи.

Рассчитаем параметры степенной функции . Данную функцию можно привести к линейному виду путем логарифмирования обеих частей:

В результате расчетов получаем следующую регрессионную модель:

(11, 9) (-4, 8)

Выполнив потенцирование, находим вид искомой функции:

Построению показательной функции также предшествует процедура линеаризации переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения:

.

После расчета характеристик и параметров для таким образом преобразованных рядов, получаем:

(25, 5) (-5, 5)

Выполнив потенцирование, находим вид искомой функции:

Уравнение равносторонней гиперболы линеаризуется при замене : . В результате получаем модель:

(2, 7) (5, 0)

Из всех форм связи, если ориентироваться на набор статистических характеристик, наилучшей является линейная форма связи. Вид зависимости

является искомой моделью.

Задача 4.

В данной задаче получены следующие формы связи:

линейная –

;

Степенная функция –

;

(9, 6) (-5, 9)

показательная функция —

;

(16) (-4)

гипербола —

.

(6, 6) (8, 3)

Таким образом, исходя из набора статистических характеристик, а также ориентируясь на экономическую интерпретацию форм связи, наилучшей является гиперболическая форма связи, она и является искомой моделью:

.

(6, 6) (8, 3)

Задача 5.

Линейная регрессия задачи имеет вид:

0, 95,

Поскольку в данном случае имеет место мультиколлинеарность факторов, устраним из регрессионной модели менее значимый фактор. Исходя из t -статистики таким является удельный вес рабочих высокой квалификации x₂. Далее построим парную регрессию, фактором которой выступает ввод основных фондов:

0, 94,

Данная зависимость по всем статистическим характеристикам является удовлетворительной. Ее и будем использовать для прогноза:

(тыс.руб.)

Решения(ответы) к тренировочным заданиям § 5.1

Задача 1.

При расчете смешанным методом S=1304000 руб., при расчете общим методом S=1221966 руб.

Задача 2.

Для расчета используем определение коэффициента наращения (5.1.8). В случае расчета по простым процентам 2=1+0, 16t, отсюда t=8, 33года, в случае расчета по сложным процентам 2=(1+0, 16/4)^4t , t=5, 86 года.

Задача 3.

Используя формулу (5.1.8), r=76%.

Задача 4.

Реальная процентная ставка с учетом инфляции r=58, 9%, наращенная сумма S=5387000 руб, доходность клиента, то есть наросший процент 2387000 руб.

Задача 5.

Наращенная сумма S=12667000 руб, эффективная процентная ставка r = 26, 67 %.

Решения(ответы) к тренировочным заданиям § 5.2

Задача 1.

Ожидаемые доходности акций составят:

; ; ;

риски акций будут равны:

; ; ;

ковариации доходностей акций будут равны:

; ; .

Задача 2.

Ожидаемые доходности и риски портфелей будут соответственно равны:

1) ; .

2) ; .

3) ; .

Задача 3.

Задача определения структуры эффективного портфеля с минимальным уровнем риска при заданном уровне ожидаемой доходности 18% будет иметь вид:

1) .

Задача определения структуры эффективного портфеля с максимальной ожидаемой доходностью и заданным уровнем риска 3(%)²:

2) .

Задача 4.

Ожидаемая доходность акций компании Exxon, будет равна ; ожидаемая доходность акций компании IBM — ; ожидаемая доходность акций компании Procter & Gamble — ; ожидаемая доходность акций компании American Express —

Решения(ответы) к тренировочным заданиям § 5.3

Задача 1.

Искомая сумма равна текущей стоимости указанных денежных потоков PV=1805, 375 д.е.

Задача 2.

Показатели эффективности для первого проекта: NPV₁=256.63 д.е., IRR₁=30.9 %.

Показатели эффективности для второго проекта: NPV₂=571.03 д.е., IRR₂=30.01 %.

Задача 3.

Рассчитаем внутреннюю норму прибыли и используем формулу (5.3.5.) для расчета допустимого уровня инфляции, в результате i=34, 8%.

Решения(ответы) к тренировочным заданиям § 6.1

Задача 1.

t_кр=40

L_кр=((1, 3); (3, 4); (4, 5); (5, 7))

1.2.

(i, j)	tij
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4)
(2, 4)
(2, 5)
(3, 4)
(3, 6)
(4, 5)
(4, 6)
(4, 7)
(5, 7)
(6, 7)

1.3.

	0 5 6 9 10 13 15 16 17 19 20 25 28 30 32 35 40

t_кр=40

L_кр=((1, 3); (3, 4); (4, 5); (5, 7))

2.1.

2

2.3. t_кр=25

L_кр=((1, 3); (3, 6); (6, 7))

2.4. Да, можно, т.к. ее полный резерв отличен от 0 и равен 1.

2.5. Можно на 4 дня.

Решения(ответы) к тренировочным заданиям § 6.2

Задача 1.

Р₀=0, 11, L_ож=8 машин, t_ож= 4 мин. Следовательно, в среднем 11% времени система находится в свободном состоянии, средняя длина очереди составляет 8 машин, каждая машина находится в очереди в среднем 4 минуты; вероятность того, что прибывающему требованию придется ждать обслуживания равна вероятности того, что в системе заняты все обслуживающие устройства P₃=0.147; при расширении системы до четырехканальной вероятность того, что заявка будет ожидать обслуживания составит 0, 086.

Задача 2.

Р₀=0, 015 то ес