Схема первого и третьего квадрантов МОБ в текущих ценах

Отрасли-производители	Отрасли-потребители
	x11p1	x12p1	x13p1
	x21p2	x22p2	x23p2
	x31p3	x32p3	x33p3
Промежуточные затраты
Добавленная стоимость	Zq1	Zq2	Zq3
Валовой выпуск	p1	p2	p3

Тогда базовую прогнозную модель трехотраслевого МОБ для оценки последствий инфляции издержек можно записать в следующем виде

,

, (2.1.9)

.

Учитывая приведенные ранее выражения для коэффициентов прямых материальных затрат, последнюю модель можно переписать в виде:

,

,

.

Разделив каждое из уравнений на соответствующий объем валового выпуска X_i, можно представить полученную ценовую модель и в другом виде, формально не зависящем от объемов производства в отраслях

,

,

,

где через c_i обозначены отношения добавленной стоимости к валовому выпуску в базисной системе цен.

Модель представлена тремя уравнениями с шестью неизвестными p_i и q_i, , т.е. она имеет три степени свободы, в рамках которых в процессе ее практического использования должны задаваться экзогенные переменные. Актуальными представляются следующие сценарии модельных расчетов:

1) задавая изменение объемов добавленной стоимости в отраслях (например, в результате изменения заработной платы или налогов), на основе модели рассчитать «чистое» влияние факторов такого изменения на всю систему отраслевых цен;

2) изменяя динамику цен в отдельных отраслях (например, в сырьевых или в импортозависимых), на основе модели рассчитать динамику цен в других отраслях при дополнительных предположениях относительно конъюнктуры рынка, позволяющих экзогенным образом определить индексы изменения добавленной стоимости в рамках степеней свободы модели.

Безусловно, рассчитанные на основе модели индексы цен являются ориентировочными, поскольку рассчитываются в рамках достаточно жестких предположений.

2.1.4. Экономический смысл коэффициентов прямых и полных затрат

Для того, чтобы более глубоко понять сущность моделей МОБ, следует остановиться на экономическом смысле коэффициентов прямых и полных затрат, которые лежат в основе работы прогнозных моделей МОБ.

Приведем экономическую интерпретацию коэффициентов прямых затрат на конкретном примере.

Пример 2.1.3. На базе четырехотраслевого отчетного МОБ примера 2.1.1 рассчитать матрицу коэффициентов прямых затрат и дать их экономическую интерпретацию.

Решение. Матрицу коэффициентов прямых затрат А удобно рассчитывать по данным таблицы 2.1.4, где в одной таблице представлены межотраслевые потоки промежуточного продукта и валовые выпуски отраслей.

Матрица коэффициентов прямых затрат (a_ij)_n*n рассчитывается на основе отчетного МОБ по формуле (2.1.4).

Для нашей задачи в соответствии с этой формулой, получаем:

= = 0, 52,

= = 0, 12,

и т.д.

Вычисления оформляются в виде матрицы прямых затрат А^отч=( =

Показатели первого столбца показывают, что для производства валовой продукции промышленности на сумму 1 млн.руб. необходимо израсходовать валовой продукции промышленности на сумму 0, 52 млн.руб. (520 тыс.руб.); продукции строительства на сумму 0, 07 млн.руб. (70 тыс.руб.); продукции прочих отраслей материального производства на сумму 40 тыс. руб.; объем услуг в размере 50 тыс. руб.

Аналогичную интерпретацию имеют элементы остальных столбцов матрицы.

В частности элементы второго столбца показывают, что для производства валовой продукции строительства на сумму 1 млн.руб. необходимо израсходовать валовой продукции промышленности на сумму 0, 12 млн.руб. (120 тыс.руб.); продукции строительства на сумму 0, 35 млн.руб. (350 тыс.руб.); продукции прочих отраслей материального производства на сумму 30 тыс. руб.; объем услуг в размере 30 тыс. руб.

Таким образом коэффициенты прямых затрат количественно характеризуют интенсивность межотраслевых взаимодействий.

С позиции экономической интерпретации является понятным требование , т.е. поставки продукции отраслей в сферу конечного использования должны быть положительными элементами. С учетом балансового уравнения (2.1.7) это требование тождественно выполнению условия , проверка которого связано с исследованием матрицы А на продуктивность.

Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор , что . В литературе [33] известен ряд критериев проверки продуктивности матрицы. Но практическая проверка этих критериев является достаточно трудоемкой. Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица всегда продуктивна. Повторим, что данное условие является только достаточным, и матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы. Математически можно доказать, ориентируясь на соотношения (2.1.2) и (2.1.4), что для матрицы прямых затрат А достаточное условие продуктивности всегда выполняется.

Далее, с целью определения экономического смысла матрицы полных затрат, соотношение (2.1.8) с учетом принятых обозначений перепишем в развернутом виде:

(2.1.10)

Предположим, что конечная продукция производится только в первой отрасли в объеме – единица, т.е. . Тогда валовой выпуск отраслей в соответствии с уравнением (2.1.10) составит:

,

т.е значения первого столбца матрицы полных затрат. Таким образом, элементы первого столбца матрицы полных затрат В показывают количество валовой продукции первой отрасли (), второй отрасли () и третьей отрасли (), необходимое для производства единицы конечной продукции первой отрасли ().

Полагая, что производится единица конечной продукции второй отрасли , аналогично показываем, что вектор валовых выпусков отраслей , т.е. элементы второго столбца матрицы полных затрат В показывают количество валовой продукции первой отрасли (), второй отрасли () и третьей отрасли (), необходимое для производства единицы конечной продукции второй отрасли ().

В общем случае, коэффициент полных затрат показывает, сколько нужно произвести валовой продукции i-й отрасли, чтобы была произведена единица конечной продукции j -й отрасли.

Количественные сравнительные соотношения коэффициентов прямых и полных затрат являются наглядными, если выполнить разложение в ряд матрицы полных затрат

(2.1.11)

С учетом последнего соотношение (2.1.8) перепишется:

(2.1.12)

Выражение (2.1.12) показывает, что валовой выпуск включает конечную продукцию (первое слагаемое ), прямые затраты для производства конечной продукции в объеме (второе слагаемое ), косвенные затраты первого порядка для производства конечной продукции в объеме (третье слагаемое) и т.д. Иначе говоря, коэффициенты полных затрат включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество продукции, израсходованное непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в продукт не прямо, а через цепочки взаимодействий.

Для примера рассмотрим затраты электроэнергии для производства хлеба. Прямые затраты – это то количество электроэнергии, которое непосредственно израсходовано при выпечке хлеба. Но в производстве хлеба, кроме электроэнергии затрачивается мука и другие продукты, а на их выпуск также потребовалось известное количество электроэнергии. В свою очередь на производство муки расходуется зерно и на каждой из этих стадий затрачивается электроэнергия, как схематично показано на рис. 2.1.1.

Прямые затраты Косвенные затраты 1 порядка Косвенные затраты 2 порядка

Рис. 2.1.1 Прямые и косвенные затраты электроэнергии на производство хлеба.

Чтобы подсчитать полные затраты одного вида продукции на единицу другого (например, электроэнергии на единицу хлеба) нужно сложить прямые затраты и косвенные затраты всех порядков. Непосредственно осуществить такой подсчет невозможно, поскольку дерево затрат неограничено удлиняется. Однако затраты очень высоких порядков абсолютно и относительно невелики, поэтому при непосредственном расчете можно ограничиться лишь несколькими ближайшими порядками затрат. Отметим, что благодаря цепочке межотраслевых взаимодействий, которая количественно отражается в матрице полных затрат, модели межотраслевого баланса имеют свою специфическую особенность: они являются единственным классом моделей, позволяющим количественно реализовывать взаимосвязанные производственные цепочки.

Пример 2.1.4. Для данных примера 2.1.3 получена следующая матрица полных затрат:

Требуется дать экономическую интерпретацию элементам матрицы.

Решение. Коэффициенты первого столбца матрицы указывают, что для производства конечной продукции промышленности на сумму 1 млн.руб. требуется произвести валовой продукции промышленности на сумму 2, 22 млн. руб., продукции строительства на сумму 0, 27 млн.руб. (270 тыс. руб.), прочих отраслей материального производства на сумму 140 тыс.руб., объем услуг в размере 160 тыс.руб. Аналогично, для производства конечной продукции строительства на сумму 1 млн.руб. требуется произвести валовой продукции промышленности на сумму 0, 448 млн. руб. (448 тыс. руб.), продукции строительства на сумму 1, 608 млн.руб., прочих отраслей материального производства на сумму 96 тыс.руб., объем услуг в размере 93 тыс.руб.

Матрица полных затрат дает количественную информацию о цепочке производственных взаимосвязей и позволяет, например, ответить на вопрос: как скажется на валовом выпуске отраслей изменение спроса на конечную продукцию каждой отрасли. Данные первого столбца матрицы примера 2.1.4, показывают, что для производства конечной продукции первой отрасли необходимо задействовать через цепочку производственных взаимосвязей все отрасли в следующей структуре: 80% (2, 22*100%/(2, 22+0, 27+0, 14+0, 16)=80%) продукции промышленности, 10% -строительства, 5% — прочих отраслей материального производства, 5% — услуг.

2.1.5. Математическое обеспечение модели МОБ

и информационные технологии

В рамках разработки математического обеспечения модели МОБ предполагается оценить разрешимость модели МОБ и в случае разрешимости найти решение модели МОБ.

Разрешимость модели МОБ. Базовые прогнозные модели МОБ (см. модели 2.1.5, 2.1.9) представляют собой систему n линейных уравнений с n неизвестными, общий вид которой может быть представлен следующим образом:

(2.1.13)

……………………….

или в матричной форме:

Поскольку матрица C системы (2.1.13) квадратная, то при условии det C¹ 0 существует обратная матрица C ^-1 и тогда система (2.1.13) имеет единственное решение:

(2.1.14)

Что же делать в том случае, если построенная модель МОБ неразрешима? На наш взгляд, одним из возможных способов преодоления данной трудности является экспертная корректировка матрицы прямых затрат. Дело в том, что рассчитанная матрица прямых затрат является результатом обработки больших массивов экономической информации, и по этой причине, безусловно, имеет определенные погрешности обработки данных. Поэтому за счет небольших экспертных изменений матрицы прямых затрат можно добиться выполнимости условия разрешимости системы det C¹ 0.

Методика нахождения решения модели. Одним из методов решения системы уравнений вида (2.1.13) является метод, основанный на формуле (2.1.14) и представляющий матричный метод решения системы, или метод обратных матриц. Из курса линейной алгебры известны и другие методы решения системы уравнений вида (2.1.13), например, правило Крамера, метод Гаусса. В курсе высшей математики (линейная алгебра) студенты знакомятся с решением систем линейных уравнений с использованием указанных методов.

Однако реализация этих методов в ручном режиме достаточна трудоемка и при практическом решении балансовых моделей, представленных в виде системы линейных уравнений, используют стандартные пакеты прикладных программ. Решение системы уравнений вида (2.1.13) средствами Excel возможно несколькими способами. Продемонстрируем их, используя матрицу А примера 2.1.3.

Способ 1. Реализация матричного метода решения модели МОБ (2.1.6) соответственно формуле (2.1.8) предполагает

а) нахождение обратной матрицы к матрице (Е-А) (расчет матрицы полных затрат В);

б) выполнение операции умножения матриц полных затрат В и вектор-столбца конечного использования Y. Для определенности будем предполагать, что матрица (А) представлена матрицей примера 2.1.3 и имеет размерность 4´ 4.

Нахождение обратной матрицы к матрице (Е-А) (расчет матрицы полных затрат В).

Сформируем искомую матрицу (Е-А)

=

Далее введем элементы матрицы (Е-А) в диапазон ячеек А4: D7. Выделим область (диапазон из 16-ти ячеек) E4: H7 для размещения обратной матрицы. Найдем обратную матрицу с помощью функции МОБР, для чего: выполним один щелчок левой кнопки мыши по кнопке (вставка функции) стандартной панели инструментов (на экране диалоговое окно Мастер функций).

В левом окне подведем курсор на категорию Математические и выделим ее щелчком кнопки мыши. В поле Функция этого окна с помощью кнопок прокрутки найдем функцию МОБР ивыделим ее щелчком по мыши и нажмем кнопку ОК (рис. 2.1.1).

Рис. 2.1.1. Диалоговое окно активизации команды обращения матрицы.

В поле Массив с мигающим курсором введем диапазон размещения элементов матрицы (Е-А) – A4: D7 и нажмем клавиши < Ctrl> +< Shift> +< Enter> (одновременным нажатием этих клавиш мы указываем программе, что она должна выполнить операцию над массивами) (рис.2.1.2.).

Рис. 2.1.2. Диалоговое окно ввода данных инструмента МОБР.

На экране в выделенном диапазоне получим обратную матрицу. В нашем примере искомая обратная матрица приведена на рис. 2.1.3.

Рис. 2.1.3. Результат применения инструмента.

Выполнение операции умножения матриц полных затрат В и вектор-столбца конечного использования . Напомним, что в соответствии с (2.1.8) модель МОБ в матричной форме имеет вид: ,

где матрица полных затрат В найдена на предыдущем этапе, и в таблице Excel находится в ячейках Е4: Н7.

Пусть вектор–столбец конечного использования продукции отраслей имеет вид: . Требуется найти валовой выпуск продукции отраслей . Это означает, что с помощью команд Excel требуется выполнить операцию умножения матриц В и .

Занесем вектор в ячейки А9: А12. Выделим диапазон Е9: Е12 для размещения вектора решений . Умножение матриц В и выполнимс помощью функции МУМНОЖ, для чего: выполним один щелчок левой кнопки мыши по кнопке (вставка функции) стандартной панели инструментов (на экране диалоговое окно Мастер функций). В левом окне подведем курсор на категорию Математические и выделим ее щелчком кнопки мыши. В поле Функция этого окна с помощью кнопок прокрутки найдем функцию МУМНОЖ ивыделим ее щелчком по мыши и нажмем кнопку ОК (рис. 2.1.4).

Рис. 2.1.4. Диалоговое окно активизации команды умножения матриц

В поле Массив1 с мигающим курсором введем диапазон размещения элементов матрицы В – Е 4: Н7, в поле Массив2 с мигающим курсором введем диапазон размещения элементов матрицы - А9: А12 и нажмем клавиши < Ctrl> +< Shift> +< Enter> (рис.2.1.5.).

Рис. 2.1.5. Диалоговое окно ввода данных инструмента МУМНОЖ.

На экране в выделенном диапазоне, в ячейках Е9: Е12, получим вектор-столбец произведения матриц. Это означает, что значения неизвестных: , , , .

Рис. 2.1.6. Результат применения инструмента.

Хотя можно было бы операцию умножения матриц за счет введения более сложной формулы выполнить в один шаг: выделяем диапазон для размещения результата Е9: Е12 и введем в него формулу= МУМНОЖ(E4: H7; А9: А12) и нажмем клавиши < Ctrl> +< Shift> +< Enter> (рис.2.1.7).

Рис.2.1.7. Активизация команды умножения матриц с помощью формулы.

Матричный метод решения модели МОБ средствами Excel может также осуществляться не последовательной работой шагов, а путем задания формулы: для этого в поле Е9: Е12 вводится более сложная формула, включающая одновременно операции взятия обратной матрицы и умножения матриц: МУМНОЖ(МОБР(А4: D7); А9: А12) (рис.2.1.8).

Рис.2.1.8. Активизация команды решения системы уравнений с помощью формулы.

Способ 2. Для решения системы линейных уравнений может быть использована команда Поиск решенияиз менюСервисExcel, позволяющая решать оптимизационные задачи. Поскольку система n линейных уравнений с n неизвестными, при условии ее разрешимости, имеет единственное решение, то введение любой целевой функции не оказывает влияния на решение системы, т.к. область допустимых значений системы – единственная точка. Поэтому целевая функция имеет формальный характер и необходима лишь для того, чтобы активизировать команду Поиск решения.

Методику решения системы линейных уравнений продемонстрируем для рассмотренного примера:

или в развернутом виде:

Предварительно введем в таблицу Excel исходные данные задачи: будем предполагать, что переменные модели () находятся соответственно в ячейках А1-D1. В ячейку А2 вводим левую часть первого ограничения:

,

А3 – левую часть второго ограничения:

,

А4 – третьего:

,

А5 – четвертого:

.

В ячейке А6 договоримся, что находится линейная функция любого вида, выраженная через переменные А1-D1, например:

Диалоговое окно ввода данных представлено на рис.2.1.9.

Рис.2.1.9. Подготовка данных для активизации инструмента Поиск решения.

Далее вызываем команду Поиск решения из меню Сервис, щелкнув М1 последовательно по их названиям (рис.2.1.10). На экране –

Рис.2.1.10. Диалоговое окно активизации инструмента Поиск решения.

диалоговое окно Поиск решения. В поле Установить целевую ячейку занесем название ячейки А6. После слова Равной можно выделять Максимальное значение или Минимальное значение – это не имеет значения, т.к. целевая функция в данном случае имеет формальный характер и не оказывает влияния на решение. Еще раз повторим, что целевая функция в данном случае должна быть выделена лишь для того, чтобы активизировать команду Поиск решения. В поле Изменяя ячейки: занесем диапазон переменных модели А1-D1, т.к. именно эти ячейки отведены под значения вычисляемых переменных, щелкнув М1 по красной стрелке в этом поле. Далее занесем ограничения задачи в поле Ограничения: для чего щелкнем М1 по кнопке Добавить. На экране диалоговое окно Добавление ограничения. В поле Ссылка на ячейку заносим ячейку А2, где располагается левая часть первого ограничения, в среднее поле занесем равенство, выделив его в открывшемся окне. В правое поле занесем правую часть первого ограничения — число 40, 3. Далее занесем второе ограничение в поле Ограничения, для чего проделаем аналогичную процедуру со вторым ограничением, которое располагается в ячейке А3, в правой части равенства указываем значение 21. Аналогично для последующих третьего и четвертого ограничений. Так как все условия задачи введены, щелкнем М1 по ОК. На экране — диалоговое окно Поиск решения (рис.2.1.11).

Рис.2.1.11. Диалоговое окно активизации инструмента Поиск решения.

Щелкнем М1 по кнопке Выполнить. На экране в ячейках А1-D1 полученные результаты решения (рис. 2.1.12): , , , .

Рис. 2.1.12. Результат применения инструмента.