Продуктивные модели Леонтьева

Матрица А, все элементы которой неотрицательны, на­зывается продуктивной, если для любого вектора с неот­рицательными компонентами существует решение уравнения (16.6) — вектор , все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Для уравнения типа (16.6) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особеннос­тей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства важную теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.

ТЕОРЕМА 16.1. Если для матрицы А с неотрицательными элементами и некоторого вектора с неотрицательными компонентами уравнение (16.6) имеет решение с неотри­цательными компонентами, то матрица А продуктивна.

Иными словами, достаточно установить наличие положи­тельного решения системы (16.6) хотя бы для одного положи­тельного вектора , чтобы матрица А была продуктивной. Пе­репишем систему (16.6) с использованием единичной матрицы Е в виде

Если существует обратная матрица (E - А)^-1, то существует и единственное решение уравнения (16.7):

Матрица (Е — А)^-1 называется матрицей полных затрат.

Существует несколько критериев продуктивности матри­цы А. Приведем два из них.

Первый критерий продуктивности. Матрица А продукти­вна тогда и только тогда, когда матрица (Е - А)^-1 сущест­вует и ее элементы неотрицательны.

Второй критерий продуктивности. Матрица А с неотри­цательными элементами продуктивна, если сумма элемен­тов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Рассмотрим применение модели Леонтьева на несложных примерах.

Пример 1. В табл. 16.4 приведены данные по балансу за не­который период времени между пятью отраслями промышлен­ности. Найти векторы конечного потребления и валового вы­пуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и опре­делить, является ли она продуктивной в соответствии с при­веденными выше критериями.

Решение. В данной таблице приведены составляющие ба­ланса в соответствии с соотношениями (16.2): x_ij — первые пять столбцов, у_i — шестой столбец, x_i — последний столбец (i, j = 1, 2, 3, 4, 5). Согласно формулам (16.3) и (16.4), имеем

Все элементы матрицы А положительны, однако нетрудно видеть, что их сумма в третьем и четвертом столбцах боль­ше единицы. Следовательно, условия второго критерия продук­тивности не соблюдены и матрица А не является продуктив­ной. Экономическая причина этой непродуктивности заключа­ется в том, что внутреннее потребление отраслей 3 и 4 слиш­ком велико в соотношении с их валовыми выпусками.

Пример 2. Табл. 16.5 содержит данные баланса трех отрас­лей промышленности за некоторый период времени. Требуется найти объем валового выпуска каждого вида продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30 условных денежных единиц.

Решение. Выпишем векторы валового выпуска и конеч­ного потребления и матрицу коэффициентов прямых затрат. Согласно формулам (16.3) и (16.4), имеем

Матрица А удовлетворяет обоим критериям продуктивности. В случае заданного увеличения конечного потребления новый вектор конечного продукта будет иметь вид

Требуется найти новый вектор валового выпуска _*, удов­летворяющий соотношениям баланса в предположении, что матрица А не изменяется. В таком случае компоненты x ₁, x ₂, х ₃ неизвестного вектора _* находятся из системы уравнений, которая согласно (16.4) имеет в данном случае вид

В матричной форме эта система выглядит следующим об­разом:

или

где матрица (Е — А) имеет вид

Решение системы линейных уравнений (16.11) при заданном векторе правой части (16.9) (например, методом Гаусса) да­ет новый вектор _* как решение системы уравнений баланса (16.10):

Таким образом, для того чтобы обеспечить заданное уве­личение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и пе­реработку углеводородов на 52, 2%, уровень энергетики — на 35, 8% и выпуск продукции машиностроения — на 85% по срав­нению с исходными величинами, указанными в табл. 16.5.