Понятие матрицы

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Краткие дополнительные сведения

n! -(читается эн-факториал),

n! =1*2*3....* n!

3! =1*2*3=6

5! =1*2*3*4*5=120

Упорядоченную совокупность (a₁, a₂,..., a_n) n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа a_i (i = ) - компонентами, или координатами, вектора.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) ¹
¹ (2, 3, 5, 0, 1).

Будем называть суммой векторов и вектор , координа­ты которого равны суммам соответствующих координат этих векторов:

Пусть λ — любое действительное число. Произведением вектора на число λ будем называть вектор, координаты ко­торого получаются умножением соответствующих координат вектора на это число:

Скалярным произведением векторов называется число, состоящее из суммы произведений соответ­ствующих координат этих векторов:

Матрицы и операции над ними

Понятие матрицы

Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида

называется матрицей. Здесь a_ij — действительные числа (i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n), называемые элементами матрицы, i и j — соответственно индексы строки и столбца. При этом произведение m х n числа строк на число столбцов называют размером матрицы А. Часто матрицу запи­сывают в сокращенном виде:

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

В том случае, когда m = n (число строк равно числу столб­цов):

матрица А называется квадратной.

Упорядоченная совокупность элементов a₁₁, a₂₂,. …, а_пп на­зывается главной диагональю квадратной матрицы. Квадрат­ная матрица называется диагональной, если ее элементы удов­летворяют условию

т.е. ненулевыми могут быть только элементы главной диагонали; матрица в этом случае имеет вид

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице:

Определение 2. Две матрицы А и В называются равными (А = В), если они имеют одинаковые размеры и их соответ­ствующие элементы равны: a_ij = b_ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,.... n.