Экономичность системы счисления

Давайте попытаемся выбрать оптимальную систему счисления с точки зрения типографского наборщика. Т.е. мы должны выбрать систему счисления, в которой с помощью минимального запаса литер можно набрать максимальное число.

Рассмотрим на примере. Для того, чтобы изобразить любое число от 000 до 999 в 10-й системе потребуется набор из 30 литер (по одному комплекту от 0-9 для каждого разряда). А в 2-й системе с помощью 30 литер можно записать число 2¹⁵, т.к на каждый разряд надо всего 2 цифры. => с помощью 30 литер можно записать число из 15 разрядов. Но 2¹⁵ = 32*1024, т.е. более чем в 32 раза больше 1000.

В общем случае, если взять число литер n, а основание системы счисления x, то можно записать число

Самостоятельно доказать, что max этой функции равен e.

Т.о. наиболее экономичной системой счисления является система с основанием е =2, 71828..., находящимся между числами 2 и 3.

График

Троичная система ближе к оптимальной, чем двоичная, и, тем не менее, во всех современных ЭВМ для представления числовой информации используется двоичная система счисления. Это обусловлено более простой технической реализацией устройств, имеющих (и умеющих различать) 2 состояния, чем устройств на 3 состояния. Действительно, 2 положения это

· есть ток/нет тока

· положительная/отрицательная намагниченность и т.п.

Для реализации устройств на 3 состояния может понадобиться каскад из 2-х устройств на 2 состояния, что сведет на нет все преимущества 3-й системы.

При N=2 число различных цифр, используемых для записи чисел, ограничено множеством из двух цифр (нуль и единица). Кроме двоичной системы счисления широкое распространение получили и производные системы:

· двоичная система - {0, 1};

· десятичная система, точнее двоично-десятичное представление десятичных чисел, - {0, 1,..., 9}[2] – в последнее время практически не используется;

· шестнадцатеричная система - {0, 1, 2,...9, А, В, С, D, Е, F}. Здесь шестнадцатеричная цифра А обозначает число 10, В-число 11,..., F-число 15;

· восьмеричная система (от слова восьмерик) - {0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7}.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления являются производными от двоичной, так как 16 = 2⁴ и 8 = 2³. Они используются в основном для более компактного изображения двоичной информации, так как запись значения чисел производится существенно меньшим числом знаков.