Линейная независимость строк матрицы

Дана матрица размера

Обозначим строки матрицы следующим образом:

Две строки называются равными, если равны их соответствующие элементы. .

Введем операции умножения строки на число и сложение строк как операции, проводимые поэлементно:

.

Определение. Строка называется линейной комбинацией строк матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа (любые числа):

.

Определение. Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существует такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

, где . (1.1)

Линейная зависимость строк матрицы обозначает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты , то строки называются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).

Теорема играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.

6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умно­жение на число). n ‑ мерный вектор. Понятие о векторном простран­стве и его базисе.

Вектором назевается направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе).

Векторы могут обозначаться как 2-мя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой.

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.

Если начало и конец вектора совпадают (), то такой вектор называется нулевым и обозначается = . Длина нулевого вектора равна нулю:

= 0.

1) Произведением вектора на число :

Будет вектор, имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

2) Противоположным вектором - называется произведение вектора - на число (-1), т.е. - = .

3) Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора , при условии, что начало совпадает с концом . (правило треугольников). Аналогично определяется сумма нескольких векторов.

4) Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора - , противоположного .

Скалярное произведение

Определение: Скалярным произведение двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

n-мерный вектор и векторное пространство

Определение. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде х = (х1, х2, …, хn), где хi – i -я компонента вектора х.

Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором х = (х1, х2, …, хn), а соответствующие цены у = (у1, у2, …, уn).

- Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. х=у, если х i = у i, i = 1, 2, …, n.

- Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = x + y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. z i = x i + y i, i = 1, 2, …, n.

- Произведением вектора х на действительное число называется вектор , компоненты которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора , т.е. , i = 1, 2, …, n.

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:

1) - коммутативное (переместительное) свойство суммы;

2) - ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;

3) - ассоциативное относительно числового множителя свойство;

4) - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;

5) - дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;

6) Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

7) Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что ;

8) для любого вектора (особая роль числового множителя 1).

Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствами (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным состоянием.

Размеренность и базис векторного пространства

Определение. Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства и обозначается .

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.

7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Ха­рактеристическое уравнение матрицы.

Определение. Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что:

Число называется собственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору .

Можно записать в матричной форме:

, где - матрица-столбец из координат вектора , или в развернутом виде:

Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:

или в матричном виде: . Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы: .

Определитель является многочленом n -й степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы А, а полученное уравнение – характеристическим уравнением оператора или матрицы А.

Пример:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей .

Р е ш е н и е: Составляем характеристическое уравнение или , откуда собственное значение линейного оператора .

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решаем матричное уравнение:

или , или , откуда находим: , или

, или .

Предположим, что , получим, что векторы , при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .

Аналогично, вектор .

8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид) и матричная форма ее записи. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные си­стемы линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений с неизвестными

Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике.

Система линейных уравнений с переменными имеет вид:

,

где () - произвольные числа, называемые коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений, соответственно.

Краткая запись: ().

Определение. Решением системы называется такая совокупность значений , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

1) Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

2) Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

3) Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).

Запишем систему в матричной форме:

Обозначим: , где

А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных, В – матрица-столбец свободных членов.

Т.к. число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то их произведение:

Есть матрица-столбец. Элементами полученной матрицы являются левые части начальной системы. На основании определения равенства матриц начальную систему можно записать в виде: .

Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы системы, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

, - формула Крамера.

Пример. Решить систему уравнений по формулам Крамера

Р е ш е н и е. Определитель матрицы системы . Следовательно, система имеет единственное решение. Вычислим , полученные из заменой соответственно первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов:

По формулам Крамера:

.

9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п пере­менными. Понятие о методе Жордана–Гаусса.

Метод Гаусса - метод последовательного исключения переменных.

Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Преобразования Гаусса удобно проводить не с самими уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов , получаемой приписыванием к матрице столбца свободных членов :

.

Следует отметить, что методом Гаусса можно решить любую систему уравнений вида .

Пример. Методом Гаусса решить систему:

Выпишем расширенную матрицу системы.

Шаг 1. Поменяем местами первую и вторую строки, чтобы стал равным 1.

Шаг 2. Умножим элементы первой строки на (–2) и (–1) и прибавим их к элементам второй и третьей строк, чтобы под элементом в первом столбце образовались нули.

Шаг 3. Умножим элементы третьей строки на (–0, 5).

Шаг 4. Поменяем местами вторую и третью строки.

Шаг 5. Поменяем местами второй и третий столбец. (Шаги 3, 4, 5 приведены с тем, чтобы ).

Шаг 6. Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим их к элементам третьей строки, тогда под элементом появится нуль.

(называется расширенная матрица системы) .

Расширенная матрица приведена к треугольному виду. Соответствующая ей система имеет вид:

Из последнего уравнения ; из второго ; из первого .

Таким образом, , , .

10. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера–Капелли. Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений. https://function-x.ru/systems.html

11. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение.

12. Система линейных однородных уравнений и ее решения. Усло­вие существования ненулевых решений системы.

13. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические век­торы). Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число). Коллинеарные и компланарные векторы.

14. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами.

15. n ‑ мерный вектор. Линейная комбинация, линейная зависи­мость и независимость векторов.

16. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис. Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.

17. Скалярное произведение векторов в n ‑ мерном пространстве. Евклидово пространство. Длина (норма) вектора.

18. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормирован­ный базисы. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.

19. Определение оператора. Понятие линейного оператора. Образ и прообраз векторов.

20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у. Ранг оператора. Операции над линейными операторами. Нулевой и тождественный операторы.

21. Собственные векторы и собственные значения оператора % A (матрицы А). Характеристический многочлен оператора и его ха­рактеристическое уравнение.

Определение. Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что:

Число называется собственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору .

Можно записать в матричной форме:

, где - матрица-столбец из координат вектора , или в развернутом виде:

Перепишем систему так, чтобы в правых частях были нули:

или в матричном виде: . Полученная однородная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы: .

Определитель является многочленом n -й степени относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом оператора или матрицы А, а полученное уравнение – характеристическим уравнением оператора или матрицы А.

Пример:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей .

Р е ш е н и е: Составляем характеристическое уравнение или , откуда собственное значение линейного оператора .

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решаем матричное уравнение:

или , или , откуда находим: , или

, или .

Предположим, что , получим, что векторы , при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .

Аналогично, вектор .

22. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его соб­ственных векторов. Пример.

23. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы. Пример.

24. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример. Закон инерции квадратичных форм.

25. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределен­ная квадратичные формы. Критерии знакоопределенности квадра­тичной формы (через собственные значения ее матрицы и по кри­терию Сильвестра).

26. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух ли­ний. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

Уравнение линии на плоскости

Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты и каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Если точка передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты называются текущими координатами.

Любую линию в принципе можно выразить соответствующим уравнением. Однако не всякое уравнение на определяет на плоскости некоторую линию.

Например: определяет только одну точку (0; 0);

не определяет никакого множества точек, т.к. левая часть уравнения не может равняться нулю.

Чтобы убедится, лежит ли точка на данной линии , надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению .

Уравнения линии могут быть самыми различными, однако надо отметить, что не каждое уравнение имеет геометрический образ в виде линии.