Однородные системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему из n линейных однородных уравнений с n неизвестными.

Любая однородная система является совместной, т.к. всегда имеет тривиальное (нулевое) решение: х₁=0, х₂=0, …, х_n=0.

Теорема: Для того чтобы система (1.16) имела нетривиальное решение < => определитель системы равнялся нулю.

· Элементарное преобразование систем линейных уравнений:

1) перестановка любых двух уравнений;

2) умножение обеих частей одного из уравнений на любое, отличное от нуля число;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число.

Элементарные преобразования переводят данную систему уравнений в эквивалентную

Элементарные преобразования системы производятся только над её коэффициентами и совпадают с элементами преобразованиями матрицы.

О-Е: Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования её строк:

а) перестановка двух каких-нибудь строк;

б) умножение элементов строки на число, отличное от нуля;

в) прибавление к элементам какой-нибудь строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое (одно и то же) число.

О-Е: Матрицу называют ступенчатой, если:

а) любая её строка имеет хотя бы один отличный от нуля элемент;

б) первый отличный от нуля элемент строки, начиная со второй расположен правее первого неравного нулю элемента предыдущей строки.

Например: Матрицы

является ступенчатые, а матрицы

не является ступенчатыми (почему?)

Теорема: Любую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементов преобразований и выбрасывания нулевых строк.

Пример: привести матрицу к ступенчатому виду: