Поле полезности решений

В критериальном пространстве все альтернативы будут заданы точками, проекции которых на оси являются оценками альтернатив по соответствующим критериям. Рассмотрим пример (рис.1.1.). Здесь крестиками помечены возможные альтернативы. Отметим область, ограниченную минимальными и максимальными значениями критериев - это поле полезности решений, на рис.1.1. оно выделено красным прямоугольником. Все альтернативы лежат внутри этой области. Правая верхняя точка этой области называется утопической точкой - УТ, - ее координаты (f1max, f2max). Это самая лучшая точка области. Противоположная ей точка - АУТ - антиутопическая точка с координатами (f1min, f2min). Чтобы сравнить альтернативы между собой, введем понятие конуса предпочтения. Для этого возьмем произвольную точку внутри поля полезности решений, назовем ее РТ - рассматриваемая точка, - и свяжем с ней систему координат, оси которой параллельны осям критериального пространства. Тогда все точки из первого квадранта (заштрихован) будут лучше, чем точка РТ. Эта область носит название конуса предпочтения.

рис.3.1. Поле полезности решений

Проанализировав таким образом все точки из области поля полезности, увидим, что остались только точки 2 и 5 – это несравнимые альтернативы, т.е. они образуют множество Парето.

Множество Парето можно построить при любом задании альтернатив:

• координатном, когда все альтернативы заданы своими координатами в критериальном пространстве;
• графическом, когда альтернативы образуют непрерывное множество и изображены точками на графике в координатном пространстве (см. рис.1.2.);
• аналитическом, когда оценки альтернатив по каждому критерию являются непрерывными функциями, например, f1(x)=x, f2(x)=x³-4x+2.

Рассмотрим второй случай, когда альтернативы заданы графически (рис.1.2.). Чтобы построить множество Парето, т.е. убрать заведомо худшие альтернативы, сравним различные участки этой кривой. Искомому множеству могут принадлежать только убывающие участки этой кривой, если они не доминируются более правыми участками.

рис. 3.2. Множество Парето

В результате получим множество Парето, отмеченное на рисунке синим цветом (точка справа и участок кривой со стрелочкой).

Следует заметить, что все альтернативы из множества Парето являются решением многокритериальной задачи в смысле этого принципа, т.е. являются паретооптимальными. Основным недостатком таких решений является их множественность.

Контрольные вопросы.

1. Что такое поле полезности решений?

2. В чем смысл принципа Парето?

3. Что такое утопическая точка?

4. Что такое антиутопическая точка?

5. Что такое конус предпочтения?

6. Как можно задать альтернативы, чтобы построить множество Парето?

7. Что такое паретооптимальное решение?

8. В чем недостаток паретооптимальных решений?

Лабораторная работа 4. Матричные игры.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Ознакомиться с алгоритмом решения матричных игр.

ЗАДАНИЕ:

1. Упростить игру (таб. 4).

2. Найти гарантированные результаты для каждого игрока.

3. Если существует седловая точка, то найти решение игры в чистых стратегиях.

4. Если седловой точки нет, то найти решение игры в смешанных стратегиях.

5. Подготовить отчет по работе.

ОТЧЕТ ПО РАБОТЕ:

1. Титульный лист.

2. Задание и исходные данные лабораторной работы.

3. Решение задачи.

4. Анализ результатов решения.

5. Выводы по лабораторной работе.

Таб 4.

Номер Варианта	Уравнения