Задача № 5.

Вариант 5.1. Задана двумерная плотность вероятности

f(x, y)=

Найти f₁(x) и P(X< 0, 5│ y=0, 75).

Вариант 5.2. Для двумерной случайной величины, равномерно распределенной на прямоугольнике [0, 2]*[0, 1], найти совместную плотность распределения, вектор математических ожиданий и ковариационную матрицу.

Вариант 5.3. Двумерная случайная величина равномерно распределена внутри прямоугольника │ x│ ≤ 2, │ y│ ≤ 1. Найти ее плотность распределения, функцию распределения и вероятность попадания в круг x²+y²≤ 1.

Вариант 5.4. Двумерная случайная величина (X, Y) равномерно распределена внутри квадрата со стороной, равной единице, диагонали которого совпадают с осями координат.

1) Найти плотности распределения системы (X, Y) и компонент X и Y.

2) Вычислить корреляционный момент K(x, y).

3) Установить, зависимы ли X и Y.

Вариант 5.5. Двумерная случайная величина (X, Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми x=0, y=0, x+y=1.

1) Найти плотность и функцию распределения(X, Y).

2) Зависимы ли X и Y.

3) Вычислить математическое ожидание и дисперсии величин X и Y, а также корреляционный момент и коэффициент корреляции r_xy.

Вариант 5.6. Плотность распределения двумерной случайной величины (X, Y) имеет вид

f(x, y)=

1) Найти функцию распределения F(x, y).

2) Вычислить математическое ожидание MX и MY? Дисперсии DX и DY.

Вариант 5.7. Плотность распределения двумерной слцчайной величины (X, Y) имеет вид f(x, y)=

1) Найти коэффициент А.

2) Написать выражение для плотностей распределения f1(x) и f2(y)/

3) Вычислить математическое ожидание MX и MY. Средние квадратические отклонения σ _x и σ _y.

4) Установить, зависимы ли X и Y.

Вариант 5.8. Двумерная случайная величина (X, Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми y=x, y=0, x=2.Найти коэффициент корреляции r_xy.

Вариант 5.9. Плотность распределения двумерной случайной величины (X, Y) имеет вид f(x, y)=A/(1+x²+y²+x²y²).

1) Найти коэффициент А.

2) Вычислить вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник 0≤ x≤ 1, -1≤ y≤ 1

3) Найти функцию распределения системы (X, Y) и компонент X и Y

4) Установить, зависимы ли X И Y.

Вариант 5.10. Двумерная случайная величина (X, Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми x=0, y=0, x+y=a, где a> 0.

1) Найти функцию распределения системы (X, Y) и компонент X и Y.

2) Найти условную плотность распределения f(y/x).

Вариант 5.11. Плотность распределения двумерной случайной величины (X, Y) имеет вид

f(x, y)=

Найти функцию распределения системы (X, Y) и коэффициент корреляции r_xy.

Вариант 5.12. Независимые случайные величины (X, Y) имеют равномерные распределения соответственно в интервалах (-1, 1) и (0, 2).

1) Найти плотность и функцию распределения системы (X, Y).

2) Вычислить математическое ожидание MX и MY и дисперсию DX и DY.

Вариант 5.13. Двумерная случайная величина (X, Y) равномерно распределена в прямоугольнике, ограниченном прямыми x=0, x=a, y=0, y=b.

1) Найти плотность и функцию распределения системы (X, Y)

2) Вычислить математическое ожидание MX и MY и дисперсию DX и DY.

Вариант 5.14. Двумерная случайная величина (X, Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми x=a, y=a, x+y=a, где a> 0.Найти плотности и функции распределения системы (X, Y) и компонент X и Y, а также условные плотности распределения f(y/x), f(x/y).

Вариант 5.15. Двумерная случайная величина (X, Y) равномерно распределена внутри квадрата, диагонали которого совпадают с осями координат, а сторона равна a.

1) Найти плотности распределения системы (X, Y) и компонент X и Y.

2) Вычислить корреляционный момент K(x, y)

3) Установить, зависимы ли X и Y.

Вариант 5.16. Плотность распределения двумерной случайной величины (X, Y) имеют вид

f(x, y)=

Найти функцию распределения системы (X, Y) и коэффициент корреляции r_xy.

Вариант 5.17. Двумерная случайная величина (X, Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми y=-b/a, y=0, x=a, где а> 0 и b> 0.

Вычислить Математические ожидание и дисперсии и коэффициент корреляции.

Вариант 5.18. Плотность распределения двумерной случайной величины (X, Y) имеет вид

f(x, y)=

1) Найти коэффициент А.

2) Вычислить математические ожидания MX и MY и дисперсии DX и DY и вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрат, вписанный в окружность =1.

Вариант 5.19. Двумерная случайная величина (X, Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми x=0, y=0, x/a+y/a=1, где a> 0, b> 0.

Вычислить математические ожидания MX, MY дисперсии DX и DY, и коэффициент корреляции.

Вариант 5.20. Плотность распределения двумерной случайной величины (X, Y) имеет вид

f(x, y)=

Найти значение коэффициента А и плотностей распределения f1(x) и f(x/y).

Вариант 5.21. Вследствие случайных погрешностей измерения сторон прямоугольника, X и Y образуют двумерную случайную величину с плотностью распределения

f(x, y)= A/π ²(x²+16)(y²+25)

Найти коэффициент А и плотности распределения системы (X, Y) и компонент X и Y.Доказать, что X и Y независимы.

Вариант 5.22. Двумерная случайная величина (X, Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми y=x, x=0, y=2.Найт коэффициент корреляции.

Вариант 5.23. Плотность распределения двумерной СВ (X, Y) имеет вид

F(x, y)=A/1+(x²+y²)²

Найти коэффициент А и вероятность попадания случайной точки (X, Y) в круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице.

Вариант 5.24. Показать, что случайные величины X и Y с двумерной плотностью распределения независимы.

f(x, y)=

Найти математическое ожидание и дисперсию составляющей X.

Вариант 5.25. Двумерная СВ (X, Y) равномерно распределена внутри круга

x² +y²≤ R². Найти плотности распределения f(x, y) f1(x), f2(y), f(x/y) и корреляционный момент.

Вариант 5.26. Плотность совместного распределения случайных величин X и Y:

f(x, y)=

1) Найти постоянную c. 2) Вычислить корреляционный момент K_xy. 3) Установить, зависимы ли X и Y.

Вариант 5.27. Плотность совместного распределения СВ X и Y задана формулой:

f(x, y)=

1) Найти постоянную c 2) Записать функцию распределения F(x, y) 3)Вычислить коэффициент корреляции r_xy.

Вариант 5.28. Плотность распределения двумерной величины (X, Y) равна

f(x, y)=

1) Определить значение А.

2) Установить, зависимы ли X и Y

3) Найти К_xy, если X и Y зависимы.

Вариант 5.29. Плотность распределения двумерной СВ (X, Y) имеет вид

f(x, y)=

1) Найти функцию распределения F(x, y). 2) Установить, зависимы ли X, Y.

Вариант 5.30. Двумерная СВ (X, Y) равномерно распределена внутри квадрата

0≤ x≤ 4, 0≤ y≤ 4. Найти функцию распределения и плотность распределения, а также вероятность попадания случайной точки (X, Y) внутрь круга x²+y²< 2.