Задача 11.

Из точки О на плоскости выходят четыре луча ОА, ОВ, ОС и ОД (не обязательно в этом порядке). Известно, что АОВ = 40, ВОС = 70, СОД = 80.Какие значения может принимать величина угла между лучами ОА и ОД? (Величина угла между лучами - от 0 до 180.)

Задача 12. Разделите фигуру на четыре равные части:

Задача 13. Стальную плитку размерами 73 х 19 см обвели карандашом на бумаге. Найдите центр полученного прямоугольника, имея только плитку и карандаш.

Задача 14. Из фигурок, вид которых показан на рисунке, сложите квадрат.

Задача 15. На бумаге нарисован квадрат размером 5 х 5 клеточек. Покажите, как разрезать его по сторонам клеточек на 7 различных прямоугольников.

Задача 16. Разрежьте угол 8 х 8 на уголки из трех клеток (см. рис.)

Задача 17. Дан угол в 19⁰ .Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 1⁰?

Задача 18. Сколько получится острых углов, если внутри данного острого угла из его вершины провести 3 луча?

Задача 19. Имеется монета. Сколько нужно таких же монет, чтобы их можно было расположить вокруг данной монеты так, чтобы все они касались данной монеты и попарно друг друга?

Задача 20. Можно ли из одного куска проволоки получить такую фигуру, как на рисунке?

Задача 21. В точке А расположен гараж снегоочистительных машин. Одному водителю было поручено убрать снег с улиц части города, план которого изображен на рисунке. Может ли он закончить свою поездку на том перекрестке, где находится гараж, если по каждой улице своего участка города он может проехать только по одному разу?

Задача 22. Можно ли из проволоки, длина которой 20 см, согнуть такой треугольник, одна сторона которого была бы равна: 1) 8 см, 2) 10, 3) 12?

Задача 23. Как, не отрывая карандаш от бумаги, разделить фигуру на рисунке на шесть равных треугольников?

Задача 24. Дан квадрат со стороной 4 см. В него вписан второй квадрат так, что вершинами его служат средние точки сторон первого. В получившийся квадрат таким же образом вписан третий квадрат. Вычислите периметр и площадь третьего квадрата.

Задача 25. На прямой линии отмечены n точек. Сколько лучей на ней они определяют?

Задача 26. Имеются 13 равных квадратов. Как составить из них два квадрата?

Задача 27. Листочек бумаги надо разрезать на 8 частей, ограниченных отрезками. Сколько разрезов нужно для этого сделать?

Задача 28. Постройте замкнутую линию, состоящую из трех звеньев и проходящую через четыре данные точки, являющиеся вершинами квадрата.

Задача 29. На плоскости даны 10 точек, из которых каждая соединена с каждой из остальных отдельной линией. Сколько таких линий?

Задача 30. Можно ли прямоугольник 34 х 20 покрыть без наложений прямоугольниками 2 х 3 и 3 х 3, не выходя за границы большого прямоугольника?

Решения и ответы.

1.

20 углов

2.

Угол между минутной и отметкой “12” на циферблате равен 90, а угол между часовой стрелкой и отметкой “12” равен четверти от угла между “11” и “12” т.е. равен 1/4*360⁰/ 12 = 7, 5⁰. Тогда искомый угол равен 90⁰ - 7, 5⁰ = 82 30⁰.

3.

См. рисунок

4. получим:

5.

Можно найти расстояние между двумя ближайшими точками отрезка a, оно равно a / 9. 100 точек, расположенных на прямой через расстояние a / 9, дадут 99таких отрезков, общая длина которых 99 * а / 9 = 11 * а. Таким образом, b > a в 11 раз.

6.

14 точек - вершины двух семиугольников, один из которых расположен во внутренней области другого (см. рисунок).

8.

Решение:

9.

Провести прямую AD₁ так, что AD₁ = AD, а точка D₁ лежит на стороне BC (AD > AB). Затем треугольник ABD₁ переложить на место треугольника DCD₂.

B D₁ C B D₁ C D₂

A D A D

10.

1) Разрезать.

2) Сложить.

11.

Пусть два угла a и b имеют общую сторону. Каким будет угол между двумя другими их сторонами? Это зависит от взаимного расположения углов. Если углы расположены по разные стороны от их общей стороны, то они складываются и вместе дают угол a + b (рис.1). Замечание: если a + b > 180, то надо взять дополнительный (до 360⁰) угол, величина которого 360⁰ - a - b (рис.2). Если углы a и b расположены по одну сторону от их общей стороны, то угол между двумя другими их сторонами равен | a - b | (рис.3).

рис.1 рис.2 рис.3

Имея это в виду, легко указать все варианты для нашей задачи: есть две возможности 70⁰ – 40⁰ = 30⁰ и 70⁰ + 40⁰ =110⁰ для угла АОC. Каждая из них дает по две возможности для угла АОД, так что всего будет четыре варианта: 80⁰ – 30⁰ =50⁰, 80⁰ + 30⁰ = = 110⁰, 110⁰ – 80⁰ = 30⁰ и 360⁰ – 110⁰ – 80⁰ = 170⁰.

Ответ: 50⁰, 110⁰, 30⁰, 170⁰.

12.

Решение:

13.

На каждой из больших сторон прямоугольника отложим от концов по 19 см. Получим прямоугольник 35 Х 19, имеющий общий центр с исходным, а в нем мы уже сможем провести диагонали, которые пересекаются в центре (смотри рисунок).

14. Из двух фигурок можно сложить прямоугольник 2 х 5, а из десяти таких прямоугольников - квадрат.

15.

Ответ:

16.

См. рисунок:

17.

Постройте угол, равный 19 *19⁰, и вычтите полный угол 19⁰ *19 – 360⁰ = 1⁰.

18.

10 острых углов.

19.

6 монет.

20.

Нельзя, так как нечетных вершин больше двух.

21.

Нет, по одной улице ему придется ехать дважды

22.

1) можно, 2) и 3) - нельзя.

24.

Периметр 8 см, площадь 4 см.

25.

2n лучей.

26.

Первый квадрат - из 4 данных квадратов, второй - из 9.

27.

7.разрезов.

29.

45 линий

30.

Предположим, что большой прямоугольник покрыт без наложений маленькими. Так как площадь каждого из них делится на три, то площадь большого прямоугольника, также должна делится на три, но это не так.

Ответ: Нельзя.

ВАРИАНТЫ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАНИЙ

Олимпиадные задания по математике 5 класс.

1. На двух книжных полках было книг поровну. Когда с верхней полки переложили на нижнюю 24 книги, то на нижней стало в 5 раз больше книг, чем на верхней полке.

Сколько книг было на каждой полке первоначально?

2. Заяц соревновался с черепахой в беге на 100 метров. Когда заяц прибежал к финишу, черепахе оставалось до него еще 90 метров. На сколько метров надо отодвинуть стартовую линию для зайца, чтобы при новой попытке оба бегуна пришли к финишу одновременно.

3. Продолжите последовательность чисел

101; 112; 131; 415; 161; 718; 192; 021; 222; 324; …..

Найдите два следующих числа последовательности.

4. Подсчитайте количество трехзначных чисел, в записи которых отсутствует нуль, первая и третья цифры – четные, а средняя цифра - нечетная.

5. На улице, став в кружок, беседуют четыре девушки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей.

Кто, какое платье носит?

6. Восстанови поврежденные записи арифметических действий

5*

+

*84

__________

*** 0

Олимпиадные задания по математике для 5 класса

1. Миша, Коля и Петя вместе имеют массу 89кг. Миша с Колей вместе имеют массу 63 кг, а Коля с Петей 58 кг. Сколько весит каждый мальчик?

Кусок проволоки согнули в треугольник, каждая сторона которого 8м. Затем проволоку разомкнули и заново согнули из неё квадрат. Какова площадь получившегося квадрата?

Кузнечик может совершать прыжки на 1 см, 3 см и 5 см. Может ли он за 7 прыжков преодолеть ровно 28 см?

В корзине лежит меньше 100 яблок. Их можно разделить поровну между 2, 3 или 5 детьми, но нельзя разделить между 4 детьми поровну. Сколько яблок в корзине?

Белка бежит от сосны до поляны с орехами, берёт орех и возвращается к сосне, затрачивая на весь путь 6 минут. Далеко ли от сосны до поляны, если известно, что без ореха белка бежит со скоростью 6 м/с, а с орехом 3 м/с?

Олимпиадные задания по математике для 6 класса.

1. На участке дороги идет ремонт. Водителям приходится объезжать этот участок по запасному пути, отмеченному на плане пунктиром. На сколько километров увеличивает путь этот объезд?

Выбрать ответ и обосновать.
(A)3 км; (B) 5 км; (C) 6 км; (D) 10 км; (E)Невозможно определить

(3б.)

2.В лесу проводился кросс. Обсуждая его итоги, одна белка сказала: «Первое место занял заяц, а второй была лиса». Другая белка возразила: «Заяц занял второе место, а лось был первым». На что филин заметил, что в высказывании каждой белки одна часть верная, а другая – нет. Кто был первым и кто вторым в кроссе? (5 б.)

3. При проверке влажности зерна она оказалась равной 16%. 200 кг зерна просушили, после чего зерно стало легче на 20 кг. Найти влажность зерна после просушки (с точностью до 0, 1%). (5 б.)

4.Расставьте скобки в записи 7* 9 + 12: 3 – 2 так, чтобы значение данного выражения равнялось 23. (4б.)

5.В шести кружках, расположенных в форме равностороннего треугольника, расставьте числа 31, 32, 33, 34, 35, 36 так, чтобы сумма чисел на всех сторонах треугольника была одинаковой и равнялась 100. (3б.)

Олимпиадные задания для 6 класса.

1. Кирпич весит 2 кг и ещё полкирпича. Сколько весят 4 кирпича? (2 балла)

2. Деталь, изображённая на чертеже, изготовлена из листового железа. Чертёж сделан в масштабе 3: 1. Выполнив измерения, найдите расход железа в граммах, если известно, что 1 см² железного листа имеет массу 1, 8 г. (3 баллов)

3. Катер, встретив плот, продолжал движение ещё в течение получаса в том же направлении, а затем развернулся и направился обратно. Сколько ему понадобится времени, чтобы догнать плот? (4 балла)

4. В записи 52* 2* замените звёздочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 36. Укажите все возможные решения. (5 баллов)

5. Сколько воды надо добавить в 600 г жидкости, содержащей 40% соли, чтобы получился 12- процентный раствор этой соли? (6 баллов)

Олимпиадные задания по математике для 7 класса

1. (2 балла) Расставьте знаки арифметических действий и скобки там, где считаете нужным, чтобы получилось верное равенство:
2 4 6= 3 3 3

2. (2 балла) Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 3.

3. (2 балла) На клетчатой бумаге изображена чашка с крышкой (см. рис. 1). На покраску крышки израсходовали 30 г краски. Сколько ещё нужно грамм краски для покраски чашки? Не забудьте обосновать ответ.

4. (3 балла) На почтовом ящике написано: «Выемка писем производится пять раз в день с 7 до 19 часов». И, действительно, первый раз почтальон забирает почту в 7 утра, а последний – в 7 вечера. Через какие равные интервалы времени вынимаются письма из ящика?

5. (3 балла) В забеге участвовал 41 спортсмен. Число спортсменов, прибежавших раньше Васи, в 4 раза меньше числа тех, кто прибежал позже него. Какое место занял Вася?

6. (3 балла) В записи ***** × *** = ******1 замените звёздочки нулями и единицами так, чтобы получилось верное равенство.

7. (4 балла) Из урожая фруктов сварили варенье. Варенье расставили на 2 полки так, что на каждой полке стоит одно и то же количество литров варенья. При этом на первой полке стоит одна большая и 6 маленьких банок, на второй – 2 большие и 4 маленьких. Сколько литров варенья было сварено, если известно, что вместимость маленькой банки составляет 1 литр? Ответ нужно объяснить.

8. (4 балла) Доктор Айболит раздал четырем заболевшим зверям 2006 чудодейственных таблеток. Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот – на одну больше, чем носорог, а слон – на одну больше, чем бегемот. Сколько таблеток придется съесть слону?

9. (4 балла) В озере водятся караси, окуни и щуки. Два рыбака поймали вместе 70 рыб, причем улова первого рыбака – караси, а улова второго – окуни. Сколько щук поймал каждый, если оба поймали поровну карасей и окуней?

Олимпиадные задания по математике для 8 класса

1. (2 балла) Расставьте скобки и знаки арифметических действий так, чтобы получилось правильное равенство:

2. (2 балла) Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 6.

3. (2 балла) Как с помощью прямоугольной плитки размером 7см на 9см начертить

отрезок длиной 1 см?

4. (3 балла) Найдите все решения ребуса:

РАЗ
+ АЗ
З
444
Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры.

5. (3 балла) Работник заключил контракт на месяц на следующих условиях. За каждый отработанный день он получает 100 рублей. Если же он прогуливает, то не только ничего не получает, но подвергается штрафу в размере 25 рублей за каждый день прогула. Через 30 дней выяснилось, что работник ничего не заработал. Сколько дней он действительно работал?

6.

7. (3 балла) Доктор Айболит раздал четырем заболевшим зверям 2006 чудодейственных таблеток. Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот – на одну больше, чем носорог, а слон – на одну больше, чем бегемот. Сколько таблеток придется съесть слону?

8. (4 балла) Три друга сделали по одному заявлению про целое число х. Петя: «Число х больше 4, но меньше 8». Вася: «Число х больше 6, но меньше 9». Толя: «Число х больше 5, но меньше 8». Найдите число х, если известно, что двое из друзей сказали правду, а третий солгал. Нужно не только проверить, что найденное число годится, но и объяснить, почему другие варианты ответа невозможны.

9. (4балла) В озере водятся караси, окуни и щуки. Два рыбака поймали вместе 70 рыб, причем улова первого рыбака – караси, а улова второго – окуни. Сколько щук поймал каждый, если оба поймали поровну карасей и окуней?

10. (4 балла) Трое мужчин пришли к парикмахеру. Побрив первого, тот сказал: «Посмотри сколько денег в ящике стола, положи столько же и возьми 2 доллара сдачи». Тоже он сказал второму и третьему. Когда они ушли, оказалось, что в ящике денег нет. Сколько было денег в ящике первоначально, если всем удалось совершить задуманное?

Решения 8 класс (максимальное количество баллов – 27):

1.

2. Найдём все трёхзначные числа, произведение цифр которых равно 6. 6=6× 1× 1=3× 2× 1. Итак, таких чисел будет девять: 611, 161, 116, 321, 312, 231, 213, 132, 123. Их сумма равна 2220. Ответ: 2220.

3. Как с помощью прямоугольной плитки размером 7см на 9см начертить отрезок длиной 1 см?

Решение: Четыре раза отложим от точки А на прямой отрезок, равный 7 см, получим отрезок АВ длины 28 см. Теперь на этом же отрезке от его начала А трижды отложим отрезок, равный 9 см. Получим отрезок АС длины 27 см. Тогда отрезок ВС искомый.

4. Так как сумма трех цифр «З» дает на конце четверку, то «З» может быть только 8. Цифра «Р» может принимать только два значения: 3 и 4. Для каждого случая однозначно находим «А».
Ответ: 368+68+8=444, 418+18+8=444.

5. Так сумма штрафа за прогул рабочего дня в четыре раза меньше заработка в день, то мы получим в итоге ноль, если на каждый день, в течение которого работник трудился, будет приходиться четыре прогула. Пусть он работал х дней, тогда прогуливал 4 х. Тогда 5 х= 30, т.е. х= 6.
Ответ: 6 дней.

6. (2006 – (1+2+3)): 4=500 таблеток получил крокодил. Значит, слону придётся съесть 503 таблетки. Ответ: 503 таблетки.

7. Ответ: 6. Решение. Ясно, что число х должно быть больше 4, но меньше 9, иначе все солгали. Поэтому для числа х есть всего четыре возможности: 5, 6, 7, 8. Если х=5, то правду сказал только Петя. Если х=8, то правду сказал только Вася. Если х=7, то правду сказали все трое. И только при х=6 правду скажут двое: Петя и Толя.

8. Ответ: Первый – 2, второй – 0.

Первый поймал число рыб кратное 9, а второй кратное 17. Но можно подобрать только два числа, дающих в сумме 70, так, чтобы одно делилось на 9, а второе – на 17. Эти числа: 36 и 34. Значит, первый поймал 36 рыб, а второй – 34. Тогда из условия следует, что оба поймали по 20 карасей и 14 окуней. Значит, первый поймал еще 2 щуки, а второй – 0.

9. Ответ: 175 центов.

После того, как третий положил свои деньги, в столе оказалось 2 доллара. Это означает, что перед тем, как он это сделал, в столе был 1 доллар. Значит, после того, как второй положил деньги, в столе было 3 доллара, а перед тем, как он это сделал, в столе было 1, 5 доллара. Рассуждая аналогично для первого, получаем, что перед приходом первого в столе был (1, 5+2): 2=1, 75 долларов.

Задания и решения для олимпиады по математике

Класс

1. Сократите дробь: .

Ответ: .

Решение:

Найдем область определения данного выражения: Û Û a £ –1. Используя тождество , получим: = = = .

2. Пусть M – наименьшее из четырех чисел: a, b, c и 1 – а – b – c. Найдите наибольшее значение M.

Ответ: .

Решение:

Пусть d = 1 – а – b – c, тогда из условия задачи следует, что a + b + c + d = 1. Предположим, что M > , тогда каждое из данных чисел больше, чем , следовательно, a + b + c + d > 1 – противоречие. Значение М = достигается, если а = b = c = d = .

3. В Королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги так, чтобы из каждого города выходило ровно 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля?

Ответ: Не смогут.

Решение:

Подсчитаем количество дорог, которое необходимо проложить в Королевстве. Из каждого города должно выходить 7 дорог. Всего городов 1001. То есть всего должно «выходить» дорог. Но при этом каждую дорогу мы считаем дважды. То есть на самом деле в Королевстве должно быть проложено дорог, чего сделать, очевидно, не удается.