Статистические критерии риска

Вероятность p события A — отношение числа K случаев благоприятных исходов, к общему числу всех возможных исходов М

Вероятность наступления события может быть определена объективным или субъективным методом.

Объективный метод определения вероятности основан на вычислении частоты, с которой происходит данное событие. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при подбрасывании идеальной монеты — 0, 5.

Субъективный метод основан на использовании субъективных критериев (суждение оценивающего, его личный опыт, оценка эксперта) и вероятность события в этом случае может быть разной, будучи оцененной разными экспертами.

В связи с этими различиями в подходах необходимо отметить несколько особенностей. Во-первых, объективные вероятности имеют мало общего с инвестиционными решениями, которые нельзя повторять много раз, тогда как вероятность выпадения «орла» или «решки» равна 0, 5 при значительном количестве подбрасываний, а например при 6 подбрасываниях может выпасть 5 «орлов» и 1 «решка». Во-вторых, одни люди склонны переоценивать вероятность наступления неблагоприятных событий и недооценивать вероятность наступления положительных событий, другие наоборот, т.е. по разному реагируют на одну и ту же вероятность (когнитивная психология называет это эффектом контекста). Однако, несмотря на эти и другие нюансы, считается, что субъективная вероятность обладает теми же математическими свойствами, что и объективная.

Размах вариации (R)— разница между максимальным и минимальным значением фактора

R = X_max–X_min.

Этот показатель дает очень грубую оценку риску, т.к. он является абсолютным показателем и зависит только от крайних значений ряда.

Математическое ожидание — число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается M x. Математическое ожидание дискретной случайной величины x, имеющей распределение

называется величина

,

если число значений случайной величины конечно. Если число значений случайной величины счетно, то

.

При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей p _x(x) вычисляется по формуле

.

При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Основные свойства математического ожидания:

- математическое ожидание константы равно этой константе, M c=c;

- математическое ожидание — линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x, h и произвольных постоянных a и b справедливо: M (a x+ b h)= a M (x)+ b M (h);

- математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M (xh)= M (x) M (h).

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания. Если случайная величина x имеет математическое ожидание M x, то дисперсией случайной величины x называется величина D x = M (x – M x)² — математическое ожидание квадрата отклонения значения величины от ее математического ожидания. Легко показать, что D x =M (x – M x)² = M x² – M (x)². Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина M x² для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

и .

Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение sx, связанное с дисперсией соотношением

.

Основные свойства дисперсии:

- дисперсия любой случайной величины неотрицательна, D x³ 0;

- дисперсия константы равна нулю, D c =0;

- для произвольной константы D (c x)= c ² D (x);

- дисперсия суммы двух независимых случайных величинравна сумме их дисперсий: D (x±h)= D (x)+ D (h).

Использование дисперсии как меры риска не всегда удобно, т.к. размерность ее равна квадрату единицы измерения случайной величины.

На практике результаты анализа более наглядны, если показатель разброса случайной величины выражен в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина. Для этих целей используют sx.

Все вышеперечисленные показатели обладают одним общим недостатком — это абсолютные показатели, значения которых предопределяют абсолютные значения исходного фактора. Гораздо удобнее использовать коэффициент вариации (V):

V = sx/Mx.

Определение V особенно наглядно для случаев, когда средние величины случайного события существенно различаются.

В отношении оценки риска финансовых активов необходимо сделать три замечания.

1. При сравнительном анализе финансовых активов в качестве базисного показателя следует брать рентабельность, т.к. значение дохода в абсолютной форме может существенно варьировать.

2. Основными показателями риска на рынке капиталов являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Поскольку в качестве базиса для расчета этих показателей берется доходность (рентабельность), критерий относительный и сопоставимый для различных видов активов, нет острой нужды в расчете коэффициента вариации.

3. Иногда в литературе вышеприведенные формулы даются без учёта взвешивания на вероятности. В таком виде они пригодны лишь для ретроспективного анализа.