Динамика материальной точки. Сила масса и импульс частицы. Законы Ньютона.

Из опытов известно, что всякое тело оказывает сопротивление попыткам изменить его состояние (привести в движение, остановить, изменить направление движения). Такое свойство тела называют инертностью или инерцией. Количественной характеристикой инерции тела является масса тела.

Первый закон Ньютона: всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Первый закон Ньютона называют законом инерции, а движение тела без воздействия внешних сил – движением по инерции.

Второй закон Ньютона: ускорение тела прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела.

(2.1)

где - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения ускорения, силы и массы.

Если все физические величины измеряют в единицах одной системы, то =1 и (2.1')

или в векторной форме . (2.1'')

Второй закон сам Ньютон записывал несколько в иной форме, через понятие импульса. Векторная величина

(2.2)

называется импульсом. Записав, что , можно получить второй закон Ньютона в следующем виде: (2.3)

Из (2.3) следует, что скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе.

Согласно третьему закону Ньютона силы, с которыми действуют друг на друга тела, равны по модулю и противоположны по направлению:

(2.4)

Эти силы приложены к разным телам и не уравновешивают друг друга.

2.2. Закон сохранения импульса.

Для вывода этого закона введем понятие механической системы. Это совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое. Силы, действующие в системе тел, подразделяют на внутренние (силы взаимодействия тел системы между собой) и внешние (силы, действующие на тела системы, со стороны тел, не входящих в неё). Замкнутой называется система тел, если на неё не действуют внешние силы.

Пусть имеется замкнутая система из n материальных точек. К каждой точке приложены силы и т.д. (рис. 2.1). Массы и скорости точек соответственно равны и v_1, v₂, v₃,..v_n. Применим второй закон Ньютона для каждой из точек системы:

F_2-1 2

F_1-2 3 d(m₁v₁) = (F_1-2 + F_1-3 + F_1-4 + … + F_1-n)dt;

F_1-n F_1-3 F_3-1 d(m₂v₂) = (F_2-1 + F_2-3 + F_2-4 + … + F_2-n)dt;

……….. …………………………………

d(m_nv_n) = (F_n-2 + F_n-3 + F_n-4 + … + F_n-(n-1))dt;

F_n-1

Рис. 2.1

n

Складывая почленно эти уравнения и применяя третий закон Ньютона, получим:

, т.е. (2.5)

Суммарный импульс замкнутой системы является постоянной величиной. Это и есть закон сохранения импульса для замкнутой системы, фундаментальный закон природы.

На основе этого закона можно объяснить, например, движение тела с переменной массой. В момент времени масса тела (ракеты) , её скорость , а через время , масса изменится на величину и станет , а скорость Применив закон (2.5), получим

Где – скорость истечения газов относительно ракеты.

Преобразуем равенство:

Величиной пренебрегаем, тогда или

.

Проинтегрируем последнее равенство:

. Отсюда

или , окончательно

(2.6)

Формула (2.6) характеризует движение ракеты с переменной массой и называется формулой Циолковского.

Закон сохранения импульса для незамкнутой системы выводится аналогично, только учитываются ещё и внешние силы, действующие на систему. Окончательно формула имеет вид:

(2.7)

Изменение суммарного импульса незамкнутой системы равно импульсу внешних сил.

2.3. Центр масс системы и его движение.

Для исследования движения системы необходимо исследовать движение каждой ее точки. Это довольно сложно, т.к. система может состоять из огромного числа материальных точек. Кроме этого в быстротечных процессах сложно определить внутренние силы.

Некоторого упрощения добиваются в подобных задачах введением понятия центра масс (центра инерции). Центром масс системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Например, центр масс двух материальных точек находится в точке, которая делит расстояние между ними в отношении обратно пропорциональном их массам. Радиус-вектор центра масс системы определяется формулой

, (2.8)

или , где

и - соответственно масса и радиус-вектор -й материальной точки; - число материальных точек в системе. Продифференцировав последнее равенство по t, получим

где М - масса всей системы. Пусть , т.е. импульс всей системы, тогда (2.9)

т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость её центра масс. В соответствии с (2.9) из закона сохранения импульса следует, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным, т.е. центр масс используется для нахождения закона движения твердого тела или системы.

5) Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея.

Любая система отчета, которая движется прямолинейно и равномерно относительно некоторой инерциальной системы отчета, также является инерциальной, т.е. инерциальных систем имеется бесчисленное множество.

Рассмотрим две системы отчета, движущиеся относительно друг друга с постоянной скоростью υ _о.

Пусть X, Y, Z координаты в неподвижной, а в движущейся системе. Движется система прямолинейно и равномерно со скоростью v₀ (рис.3.1.) вдоль оси X.. Через время t координаты точки А будут:

(3.1)

Соотношения (3.1.) называются преобразованиями Галилея. С их помощью осуществляется переход от движущейся системы к неподвижной и наоборот.

Продифференцировав (3.1.) по времени, получим

В векторной форме эти уравнения представляются одним равенством:

υ = υ ` + υ _о (3.2)

Это принцип сложения скоростей. В результате дифференцирования по t (3.2.) получим:

a = a` (3.3)

Равенство ускорений показывает, что взаимодействие тел в обеих системах происходит одинаково. Если в системах выполняются законы Ньютона, то такие системы называют инерциальными. Согласно (3.3) система движущаяся прямолинейно и равномерно относительно инерциальной, также инерциальная. Из равенства (3.3) следует и принцип относительности Галилея: ”Никакими механическими опытами, находясь внутри инерциальной системы нельзя установить, находится она в покое или равномерном прямолинейном движении”.

А.Эйнштейн обобщил этот принцип, что и послужило одним из двух постулатов теории относительности.

Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальных систем, являются неинерциальными. Законы Ньютона выполняются в них только с поправками на, так называемые инерционные силы.

Инерционные силы проявляются в следующих случаях:

а) силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета;

б) силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе;

в) силы инерции, действующие на движущиеся тела во вращающейся системе.

В первом случае - это обычные силы инерции, возникающие, например, в транспорте при торможении и ускорении: F_m = -ma. Они направлены всегда противоположно ускорению системы и не являются результатом взаимодействия тел. Во вращающейся системе на тела действуют инерционные силы, называемые центробежными. Известно: F_Uо =. Если тело движется во вращающейся системе, то кроме центробежных сил на него действует сила Кориолиса, вычисляемая по формуле:

F_к = 2mυ `ω

где ω - угловая скорость вращения системы, а υ ` - скорость движения тела в системе.

Силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета. поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона. Для любого из тел в инерциальной системе силы инерции являются внешними, т.е. здесь нет замкнутых систем.

8) Работа. Работа переменной силы. Мощность.

Универсальной мерой различных форм движения и взаимодействия служит физическая величина, называемая энергией. Энергия характеризует систему с точки зрения качественных превращений и количественных изменений движения. Изменение энергии тела является результатом силового взаимодействия тела с другими телами. Для количественной характеристики этого процесса вводится понятие работы силы.

Работой силы F на перемещении dS называется величина, численно равная произведению проекции этой силы F_S на направление перемещения на величину самого перемещения.

Если сила F постоянна, а тело, к которому она приложена, движется поступательно и прямолинейно, то работа, совершаемая силой F, при прохождении пути S, определяется формулой:

A=FScosa = F_sS, (3.4)

где a -угол между направлением силы F и перемещения S.

F_s = Fcosa ­­­­­­­­­­­­­­­­- проекция силы F на направление перемещения. В общем случае движения тела по криволинейной траектории под действием переменной силы сначала находят элементарную работу dA на малом перемещении dS, на котором модуль и направление силы можно считать неизменными, а траекторию прямолинейной:

dA = F_s dS (3.5)

Суммарную работу А силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 находят интегрированием:

Работа - скалярная величина, измеряется в джоулях(Дж). Работу за единицу времени называют мощностью.

N = или N = F • υ (3.6)

Мощность тоже скаляр. Измеряется в ваттах (736 Вт = 1 л.с.)

9) Энергия. Кинетическая энергия точки и тела, движущегося поступательно. Связь между кинетической энергией и работой.

В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Кинетической энергией тела называют энергию, измеряемую работой, которую может совершить движущееся тело при изменении скорости от до . Элементарная работа силы F_S на пути dS равна:

dA = F_s ∙ dS = m ∙ dS = mυ ∙ dυ , отсюда

A = = – = W_k2 – W_k1 (3.7)

Cогласно (3.7.) работа результирующей силы равна приращению кинетической энергии тела. Для элементарной работы можно записать: dA=dW_k

Потенциальная энергия механической системы, это энергия, которая зависит только от взаимного расположения взаимодействующих частей системы и от их положения во внешнем силовом поле. Под силовым полем понимается пространство, в каждой точке которого на тело действует определенная сила. В частном случае это силы, действующие на тело, поднятое над Землей. Если силовое поле не зависит от времени, а при движении в нем тела по замкнутому пути, работа сил поля равна нулю, т.е. работа в таком поле зависит лишь от начального и конечного положений точек перемещения, то такие поля называют потенциальными, а действующие в них силы консервативными.

Консервативные силы характеризуются отсутствием перехода энергии в другие немеханические виды. Если же работа зависит от траектории, то силы диссипативные (например, сила трения). При этом механическая энергия переходит частично в теплоту.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией. Работа консервативных сил при элементарном изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, т.к. работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:

dA = - dW_п (3.8)

Найдем связь потенциальной энергии и силы. Известно,

F_sdS= -dW_п или F_s =, отсюда

F = -gradW_п (3.9)

т.е. сила равна градиенту потенциальной энергии со знаком минус. Соотношение (3.9) записано в векторном виде, при этом:

gradW_п = i + j + k

где - единичные векторы координатных осей, а сам вектор называется градиентом скаляра . Для выражения применяется обозначение . Это символический вектор, его называют оператором Гамильтона или набла-оператором:

= i + j + k (3.10)

Поэтому (3.9) может иметь вид: F = - W_п (3.11)

Известно, что с помощью формулы работы можно вычислить

потенциальную энергию массы m в поле Земли на высотах и :

W_п = mgh₂ – mgh₁ (3.12)

Потенциальная энергия определяется и другой формулой (3.12). Например, потенциальная энергия сжатой пружины

W_п = (3.13)

Действительно, из формул F= -kx., dA=Fdx, найдем

dA=dW_п = -kxdx. Интегрируя последнее, получим (3.13).