Получение фундаментального решения уравнения теплопроводности с помощью анализа размерностей и П-теоремы.

Рассмотрим постановку тепловой задачи для мгновенного источника. Она имеет вид

Тепловая функция зависит от двух переменных x и t и двух параметров a и , т.е. имеем функцию . Будем решать поставленную задачу, используя П‑ теорему и теорию анализа размерностей.

В нашем случае равно количеству тепла, выделенному источником в момент времени t =0, действительно, , при этом ‑ условие сохранения количества тепла (закон сохранения энергии).

Выпишем размерности всех величин, входящих в соотношение :

, здесь ‑ размерность температуры.

Таким образом, среди этих четырех величин три величины имеют независимые размерности и можно выразить через них четвертую величину , т.е. имеем один П‑ комплекс, также через независимые величины можно выразить и , тогда, согласно П‑ теореме, и решение поставленной задачи следует искать в виде .

Вычисляя частные производные , и вводя новую переменную , получаем, что уравнение теплопроводности перейдет в следующее уравнение

Преобразуем это уравнение к виду и проинтегрируем его, тогда , где =0, так как . Таким образом, имеем уравнение . В последнем уравнении разделяем переменные и получаем уравнение , его решением является функция , таким образом имеем . Учитывая условие ‑ условие сохранения количества тепла, получим . Отсюда находим , следовательно, имеем . Функция называется функцией мгновенного источника или фундаментальным решением уравнения теплопроводности.