Доказательство П-теоремы. Расчет энергии атомного взрыва.

П-теорема. Пусть имеется некоторая функциональная связь , между размерными величинами , где величины имеют независимую размерность, и пусть эта связь не зависит от выбора системы единиц измерения (инвариантна относительно выбора систем единиц измерения.). Тогда эта связь может быть записана в виде П = F(1,...1, П₁,..П _{n - k}), то есть в виде соотношения величинами П, П₁,..., П _{n - k}, представляющими собой безразмерные комбинации из размерных величин следующего вида: П= , П₁= , …, П _{n - k} = (эти величины называются П -комплексами), а показатели степеней в них те же, что и в соответствующих формулах размерностей для размерно зависимых величин , например для .

Доказательство: Доказательство теоремы основано на инвариантности связи относительно единиц измерения. Прежде всего, проведем обезразмеривание этого соотношения. Для каждой величины , i =1, …, k выделим безразмерный числовой коэффициент – числовое значение величины , и сомножитель , имеющий размерность и характеризующий масштаб измерения, тогда , для i =1, …, k. Числовые значения безразмерных множителей для размерно зависимых величин вычисляются с использованием масштабных множителей , i =1, …, k по правилу , , …, , непосредствен-но следующему из формул размерностей для каждой из них. Соотношение , по предположению теоремы, не зависит от выбора системы единиц измерения, потому оно справедливо и для , , …, – числовых значений величин , таким образом, имеем

выберем α _1, α ₂,.. α _к так, чтобы α ₁= а ₁, α ₂= а ₂…, α _к= а _к, тогда это соотношение будет иметь вид:

и мы имеем П = F (1,...1, П₁,..П _{n - k}). Теорема доказана.

Применение П – теоремы снижает число величин, фигурирующих в описании объекта и дает способ представления искомой величины a в виде

.

В частности, если , то , то есть для решения получается простое выражение через задаваемые параметры и, чтобы знать точное значение a, требуется только определить константу.

Пример. Вычислить энергию, выделяющуюся при атомном взрыве.

Предположения: при атомном взрыве в достаточно малой области (можно ее считать точкой) быстро (мгновенно) выделяется значительная энергия Е. От центра взрыва распространяется мощная ударная волна, давление за которой вначале составляет сотни тысяч атмосфер. Давлением воздуха можно пренебречь. Так, радиус фронта ударной волны есть функция: , где – плотность воздуха. Заметим, что размерности [E] = , [t] = T, [ ] = – независимые, П – комплексов нет, размерность [r] = L удовлетворяет формуле и, следовательно, , здесь const≈ 1.