Понятие вариационных принципов в подходе к построению моделей. Законы отражения и преломления света.

Вариационные принципы представляют собой весьма общие утверждения о рассматриваемом объекте (системе, явлении) и гласят: из всех возможных вариантов поведения (движения, эволюции) объекта выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенному условию. Обычно согласно этому условию некоторая связанная с объектом величина достигает экстремального значения при его переходе из одного состояния в другое. Проиллюстрируем понятие вариационных принципов на простых примерах.

Задача №6. Автомобиль, движущийся с постоянной скоростью v, должен попасть из точки А в точку B и при этом коснуться некоторой прямой линии С. Водитель автомобиля очень торопится и выбирает из множества траекторий путь, требующий минимальных затрат времени. Найти условие минимальных временных затрат.

Рис.4

Решение. Представим затраченное время как функцию величины α – угла между прямой и отрезком пути от точки А до прямой (см. рис.4). Время, затраченное на путь S при скорости v, вычисляется по формуле t(α) = , где S = АС+ВС = , тогда t(α) = . Условие экстремаль-ности t (α) по аргументу α означает, что или . Для любых значений α справедливо равенство c = , где с – расстояние между проекциями точек А и В, одинаковое для всех траекторий, дифференцируя его, получаем b , тогда имеем , и, подставляя полученное соотношение в условие минимальности, находим . Таким образом, получаем и, следовательно, , то есть условие минимальности привело к выбору такой траектории движения, что «угол падения равен углу отражения». Этому же закону подчиняется и ход светового луча, падающего на отражающую поверхность, что обеспечивает быстрейшее попадание сигнала из одной точки в другую (известный вариационный принцип Ферма).

Задача №7. Получить закон преломления лучей на границе двух сред, учитывая, что скорость движения света в первой среде , а во второй среде .

Решение. Если α – угол падения, а – угол его преломления, то время прохождения луча t (α) из точки А в точку В (см. рис.5) вычисляется по формуле t (α) =

Рис. 5.

Условие минимальности t(α) записывается в виде или , а, с учетом , приходим к равенству , то есть к известному закону преломления света.

Универсальность вариационных принципов выражается в том, что, сформулированные для определенного класса явлений, они позволяют единообразно строить математические модели.