Тема 5. Динамика вращательного движения твердого тела

Момент инерции точки. Момент инерции твердых тел разной формы. Теорема Штейнера. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной точки. Работа при вращательном движении. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса. Уравнение момента импульса для вращения вокруг неподвижной оси. Основное уравнение динамики вращательного движения. Кинетическая энергия вращающегося тела. Законы сохранения и симметрии пространства и времени.

Курсант должен знать:

1. Какое тело называется абсолютно твердым.

2. Сколько степеней свободы имеет абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси.

3. Что такое момент инерции материальной точки и тела относительно оси вращения, от чего зависит и какую роль играет момент инерции при вращении?

4. Как формулируется теорема Штейнера.

5. Что такое момент силы относительно оси вращения.

6. Что такое момент импульса материальной точки и тела относительно оси вращения.

7. Как формулируются правило моментов и закон сохранения момента импульса.

8. Как записываются выражения кинетической энергии тела и работы при вращательном движении.

9. Что такое гироскоп и в чем проявляются особенности его движения.

Вопросы и задачи для самопроверки

1. Каким свойством симметрии пространства обусловливается справедливость закона сохранения момента импульса?

2. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без скольжения сплошные цилиндр и шар, имеющие одинаковые массы и радиусы. Определить: 1) отношение скоростей цилиндра и шара на данном уровне; 2) их отношение в данный момент.

3. К ободу однородного сплошного диска радиусом 0, 5 м приложена постоянная касательная сила F = 100 H. При вращении диска на него действует момент сил трения М = 2 Н∙ м. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно12 рад/с².

4. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой 1 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами 1 и 2 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение грузов; 2) отношение сил натяжения нити.

5. Скорость вращения колеса за время t = 1 мин уменьшилась от 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса 2 кг∙ м². Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) момент М силы торможения; 3) работу силы торможения.

6. Человек массой 80 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой М = 100 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 об/мин, переходит в ее центр. Считая платформу круглым однородным диском, а человека точечной массой, определить, с какой частотой будет вращаться платформа.

Литература основная: [1], [2], [5], [8], [11], [12], [15] - [17], [23], [24], дополнительная: [18], [21], [22], [25] - [29].

Тема 6. Основы релятивистской механики.
Принцип относительности

Преобразования Галилея. Классический закон сложения скоростей. Принцип относительности. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца. Понятие одновременности. Относительность длин и промежутков времени. Интервал между событиями и его инвариантность по отношению к выбору инерциальной системы отсчета. Релятивистский закон сложения скоростей. Релятивистский импульс. Основной закон релятивистской динамики. Кинетическая энергия релятивистской частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.

Курсант должен знать:

1. Как формулируется принцип относительности в механике.

2. Как записываются преобразования координат Галилея и классический закон сложения скоростей.

3. Как формулируются постулаты специальной теории относительности.

4. Как записываются преобразования Лоренца.

5. Суть релятивистского эффекта замедления хода времени и как он выражается.

6. Что называется лоренцевым сокращением длины и собственными размерами тела.

7. Что такое интервал между двумя событиями и его выражение.

8. Релятивистский закон сложения скоростей.

9. Чему равен релятивистский импульс.

10. Основной закон релятивистской динамики.

11. Какая существует взаимосвязь между массой и энергией, энергией и импульсом релятивистской частицы.

Вопросы и задачи для самопроверки

1. Как выглядит мировая линия покоящейся частицы?

2. Что означает псевдоевклидовость пространства-времени?

3. При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит 25 %?

4. Определить собственную длину стержня (длину, измеренную в системе, относительно которой стержень покоится), если в лабораторной системе (системе отсчета, связанной с измерительными приборами) его скорость υ = 0, 8 c, длина L = 1 м и угол между стержнем и направлением движения составляет 30°.

5. Собственное время жизни частицы отличается на 1, 5 % от времени жизни, измеренного по неподвижным часам. Определить β = υ / с.

6. Тело массой покоя 2 кг движется со скоростью 200 Мм/с в системе К ', которая, в свою очередь, движется относительно системы К со скоростью 200 Мм/с. Определить: 1) скорость тела относительно системы К; 2) его импульс в этой системе.

7. Учитывая, что интервал – инвариантная величина по отношению к преобразованиям координат, определить расстояние, которое пролетел π -мезон с момента рождения до распада, если время его жизни в этой системе отсчета Δ t = 5 мкc, а собственное время жизни (время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом) t = 2, 2 мкс.

8. Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютоновский импульс в пять раз.

9. Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого равна 1 ГэВ.

Литература основная: [1], [2], [5], [8], [11], [12], [15] - [17], [23], [24], дополнительная: [18], [21], [22], [25] - [29].