Лабораторная работа № 2. Алгоритмы обработки многократных измерений

Цель работы

Изучить алгоритмы обработки многократных измерений. Научиться оценивать истинное значение измеряемой величины и среднеквадратичную погрешность при многократном измерении. Научится строить гистограммы и полигоны распределения результатов измерений и по их виду оценивать нормальность распределения результатов наблюдений.

Краткие теоретические сведения

Диапазон измерительных величин и их количество постоянно растут, и поэтому возрастает и сложность измерений. Они перестают быть однократным действием и превращаются в сложную процедуру подготовки и проведения измерительного эксперимента и обработки полученной информации.

В случае, когда случайная составляющая погрешности однократного измерения может превысить требуемые по условиям задачи значение, выполняют ряд последовательных отдельных измерений и получают одно многократное измерение, погрешность которого может быть уменьшена методами математической статистики.

Из опыта известно, что ни одно измерение, как бы тщательно оно не проводилось, не может дать абсолютно точный результат, вследствие чего часто говорят о наличии ошибок и погрешностей при проведении измерительного эксперимента. Всегда существует множество факторов, в том числе и случайных, приводящих к искажениям получаемой измерительной информации.

При условии исключения из результатов экспериментов систематических и грубых ошибок, остается лишь случайная составляющая погрешности. Случайную ошибку можно рассматривать как суммарный эффект действия многих факторов, каждый из которых не проявляет себя отчетливо. Поэтому случайные ошибки при многократных измерениях получаются различными как по величине, так и по знаку. Их невозможно учесть как систематические, но можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины. Анализ случайных ошибок является важнейшим разделом математической обработки экспериментальных данных.

В общем случае погрешность является случайной функцией времени, которая отличается от классических функций математического анализа тем, что нельзя сказать, какое значение она примет в момент времени t. Можно указать лишь вероятности появления ее значений в том или ином интервале.

При проведении измерений целью является оценка истинного значения измеряемой величины, которое до опыта неизвестно. Результат измерения включает в себя помимо истинного значения еще и случайную погрешность, следовательно, сам является случайной величиной. В этих условиях фактическое значение случайной погрешности, полученное при поверке, еще не характеризует точности измерений, поэтому не ясно, какое же значение принять за окончательный результат измерения и как охарактеризовать его точность.

Ответ на эти вопросы можно получить, используя при метрологической обработке результатов измерения методы математической статистики, имеющей дело именно со случайными величинами.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Функция распределения является самым универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для определения функций распределения необходимо проведение весьма кропотливых научных исследований и обширных вычислительных работ. Поэтому к такому способу описания случайных погрешностей прибегают иногда при исследовании принципиально новых мер и измерительных приборов.

Значительно чаще бывает достаточно охарактеризовать случайные погрешности с помощью ограниченного числа специальных величин – моментов.

Начальным моментом n –го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

представляющий собой математическое ожидание степени Хⁿ. При n=1

т.е. первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием результатов измерений.

Необходимо отметить, что результаты наблюдений в значительной степени сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины и по мере приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Это дает основания принять за оценку истинного значения измеряемой величины математическое ожидание результатов наблюдений.

Центральным моментом n –го порядка результатов наблюдений называется интеграл вида

Особое значение наряду с математическим ожиданием результатов наблюдений имеет второй центральный момент, называемый дисперсией результатов наблюдений.

При n=2

Дисперсия D [ X ] случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания. Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением результатов наблюдений:

С помощью среднеквадратического отклонения можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины ε, т.е. вероятность P {|δ |}< ε. Для этого рассмотрим формулу, известную как неравенство Чебышева:

или .

Полагая ε = 3σ _х, можно найти вероятность того, что результат однократного наблюдения отличается от истинного значения на величину, большую утроенного среднеквадратического отклонения, т. е. вероятность того, что случайная погрешность окажется больше 3σ _х:

Вероятность того, что погрешность измерения не превысит 3σ _х, составит соответственно P {|δ |}< ε ≥ 1 – 0, 11=0, 89.

Неравенство Чебышева дает только нижнюю границу для вероятности P {|δ |}< ε, меньше которой она не может быть ни при каком распределении. Обычно P {|δ |}< ε значительно больше 0, 89. Так, например, в случае нормального распределения погрешностей эта вероятность составляет 0, 9973.

Математическое ожидание и дисперсия являются наиболее часто применяемыми моментами, поскольку они определяют наиболее важные черты распределения: положение центра распределения и степень его разбросанности. Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий центральный момент случайных погрешностей μ ₃[δ ] служит характеристикой асимметрии, или скошенности распределения. Чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент делят на третью степень среднеквадратического отклонения и получают коэффициент асимметрии, или просто асимметрию Sk распределения:

Четвертый момент служит для характеристики плосковершинности распределения случайных погрешностей. Эти свойства описываются с помощью эксцесса – безразмерной характеристики, определяемой выражением

Для нормального распределения эксцесс равен нулю, более плосковершинные распределения обладают отрицательным эксцессом, более островершинные – положительным.

В практика измерений широкое распространение получило нормальное распределение погрешностей, что объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей: распределение случайных погрешностей будет близко в нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

При статистической обработке многократных показаний решаются три основные задачи:

― оценивание области неопределенности исходных экспериментальных данных;

― нахождение более точного усредненного результата измерения;

― оценивание погрешности этого усредненного результата, то есть более узкой области неопределенности.

При практическом выполнении статистической обработки многократных показаний необходимо знание методов определения по экспериментальным данным числовых характеристик распределений случайной величины. Основной смысл усреднения многократных показаний заключается в том, что найденная усредненная оценка координаты их центра имеет меньшую случайную погрешность, чем отдельные показания, по которым она находится. При этом принципиальным является допущение, что показания подчиняются нормальному закону распределения вероятности. Справедливость этого допущения необходимо проверять.

Правдоподобно или нет допущение о том, что полученные показания подчиняются нормальному закону распределения вероятности, можно предварительно оценить по виду гистограммы, построенной на основании полученных экспериментальных данных (рисунок 1).

Рисунок 1 – Гистограмма и полигон распределения

Гистограмма - это столбиковая диаграмма, служащая для графического представления имеющейся количественной информации.

Для отображения n полученных показаний СИ в виде гистограммы область численных значений между наименьшим и наибольшим показаниями L = Q_max ‑ Q_min делят на интервалы одинаковой ширины Δ Q и определяют число показаний n_k, попавших в каждый из полученных интервалов. Полученные результаты изображают графически, откладывая по оси абсцисс полученные максимальное и минимальное показания с обозначением границ интервалов между ними, а по оси ординат – величину n_k /(n Δ Q). Построив над каждым из интервалов прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов, а высотой – n_k /(n Δ Q), получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения вероятности полученных показаний в данном эксперименте. Относительную частоту попаданий n_k / n можно условно приравнять к вероятности попадания в конкретный интервал, а высоту прямоугольника считать равной эмпирической плотности вероятности р _k = n_k /(n Δ Q). Тогда площадь каждого прямоугольника равна вероятности попадания в интервал, а площадь всех прямоугольников будет равна единице, что соответствует условию нормировки (k – число интервалов):

.

Полигон представляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований столбцов гистограммы. Полученная таким образом кусочнолинейная аппроксимация более наглядно, чем гистограмма, отражает форму искомой кривой распределения

Итак: при практической обработке результатов измерений необходимо последовательно выполнить следующие операции:

1. Записать результаты измерений в таблицу 3;

Таблица 3. Обработка результатов многократных измерений

2. Вычислить среднее значение из n измерений:

3. Определить погрешности отдельных измерений D_i = X_i - m_X;

4. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений D_i²;

5. Если несколько измерений резко отличаются по своим значениям от остальных измерений, то следует проверить не являются ли они промахом. При исключении одного или нескольких измерений п.п.1...4 повторить;

6. Определяется средняя квадратичная погрешность результата серии измерений:

Программа работы

1. Решить задачи 1, 2 совместно с преподавателем.

2. Решить задачи 3…6 самостоятельно.

Порядок выполнения практической части лабораторной работы

Задача 1

Результаты многократного измерения длины стержня (мм) следующие:

Построить гистограмму и полигон распределения результатов наблюдений, на основании чего оценить степень нормальности распределения. Найти оценку истинного значения длины стержня и точечную оценку СКО длины стержня, исходя из предположения нормальности распределения результатов измерений.

Решение задачи 1

За оценку истинного значения измеряемой величины принимается математическое ожидание результатов наблюдений:

Для нормального распределения математическим ожиданием и, соответственно, оценкой истинного значения является среднее арифметическое из результатов отдельных наблюдений Х_i,

Истинное значение длины стержня 18, 308 мм.

Точечная оценка СКО результата серии измерений определяется по формуле:

где D_i – отклонение отдельных измерений от математического ожидания серии из n измерений.

Таблица 4 – Обработка результатов наблюдений

Точечная оценка СКО длины стержня 0, 001 мм.

Постоим гистограмму и полигон распределений, разбив диапазон результатов измерений на 5 равных интервалов.

Рисунок 2 – Гистограмма и полигон распределения

Поскольку максимальная относительная частота попаданий совпадает с математическим ожиданием, то возможно сделать предположение о нормальности распределения результатов измерений.

Задача 2

При измерении размера детали были следующие источники погрешности измерений: средства измерений Δ _СИ = ± 0, 05 мм, отсчета оператора Δ _ОП = ± 0, 01 мм. Определите реальную погрешность измерения Δ.

Решение задачи 2

Реальная погрешность измерения Δ складывается из погрешностей средства измерения Δ _СИ и отсчета оператора Δ _ОП.

Реальная погрешность измерения Δ = ± 0, 06 мм.

Задача 3

Даны результаты многократных измерений диаметра детали Di [мм].

Предварительно оценить правдоподобность допущения о том, что полученные показания подчиняются нормальному закону распределения вероятности по виду гистограммы, построенной на основании полученных экспериментальных данных. Оценить истинное значение и найти точечную оценку СКО этого диаметра, исходя из предположения нормальности распределения результатов измерений.

Задача 4

При многократном измерении температуры в производственном помещении получены следующие результаты в градусах Цельсия:

Оценить правдоподобность допущения о том, что полученные показания подчиняются нормальному закону распределения вероятности, оценить истинное значение и найти точечную оценку СКО температуры, исходя из предположения нормальности распределения результатов измерений.

Задача 5

При многократном измерении динамометром усилия получены следующие результаты:

Оценить правдоподобность допущения о том, что полученные показания подчиняются нормальному закону распределения вероятности, оценить истинное значение и найти точечную оценку СКО усилия, исходя из предположения нормальности распределения результатов измерений.

Задача 6

При испытании материала на растяжение измерением получены значения силы F = (903 ± 12) Н и площади поперечного сечения стержня S = (314 ± 4) м². Укажите предельные границы для истинного значения напряжения, если предел прочности определяется по формуле σ = 4F/S. Значение погрешности округляется до одной значащей цифры.

Содержание отчета

1. Титульный лист;

2. Цель и программа работы;

3. Решение задач 1…6;