Логические переменные и логические операции

Предметом изучения алгебры логики являются высказывания. При этом анализу подвергается истинность или ложность высказываний, а не их смысловое содержание. Простые высказывания в алгебре логики принято обозначать заглавными латинскими буквами: A, B, ¼ X, и т. д. Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов. В алгебре логики эти союзы заменяются логическими операциями. В соответствии с алгеброй логики любое составное высказывание можно рассматривать как логическую функцию F(A, B, C, ¼), аргументами которой являются логические переменные A, B, C, ¼ (простые высказывания). Логические функции и логические переменные (аргументы) принимают только два значения: «истина», которая обозначается логической единицей – 1 и «ложь», обозначаемая логическим нулем – 0. Логическую функцию также называют предикатом.

Действия, совершаемые над логическими переменными для получения определенных логических функций, называются логическими операциями.

1. Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание). Для операции инверсии (НЕ) приняты следующие условные обозначения:

не А; Ā; not A; А.

Логическая операция инверсия (НЕ) применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции инверсии (НЕ) является следующее:

· если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;

· если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Математическая запись данной операции для логической переменной А будет иметь вид:

F = Ā.

2. Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение). Для операции конъюнкции (И) приняты следующие условные обозначения:

А и В, А Ù В, A & B, A and B.

Логическая операция конъюнкция (И) выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции конъюнкции (И) является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.

Математическая запись данной операции для логических переменных А, B, C, ¼ будет иметь вид:

F = A & B & C & ¼ или F = A Ù B Ù C Ù ¼.

3. Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение). Для операции дизъюнкции (ИЛИ) приняты следующие условные обозначения:

А или В; А Ú В; A or B.

Логическая операция дизъюнкция (ИЛИ) выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции дизъюнкции (ИЛИ) является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

Математическая запись данной операции для логических переменных А, B, C, ¼ будет иметь вид:

F = A Ú B Ú C Ú ¼.

4. Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование). Для операции импликации (ЕСЛИ-ТО) приняты следующие условные обозначения:

если А, то В; А влечет В; if A then В; А → В.

Логическая операция импликация (ЕСЛИ-ТО) связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе – следствием из этого условия. Результат операции импликации (ЕСЛИ-ТО) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Математическая запись данной операции для двух логических переменных А и B будет иметь вид:

F = A ® B.

5. Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (логическая равнозначность). Для операции эквиваленция приняты следующие условные обозначения:

А ↔ В, А ~ В.

Результат операции эквиваленция истинен только тогда, когда все простые высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Математическая запись данной операции для логических переменных А, B, C, ¼ будет иметь вид:

F = A «B «C «¼.

В алгебре логики имеются законы, которые записываются в виде соотношений. Логические законы позволяют производить равносильные (эквивалентные) преобразования логических выражений. Преобразования называются равносильными, если истинные значения исходной и полученной после преобразования логической функции совпадают при любых значениях входящих в них переменных.

Для простоты записи приведем основные законы алгебры логики для двух логических переменных А и В. Эти законы распространяются и на другие логические переменные.

Таблица 6

Основные законы алгебры логики

С помощью законов алгебры логики можно производить равносильные преобразования логических выражений с целью их упрощения. В алгебре логики на основе принятого соглашения установлены следующие правила (приоритеты) для выполнения логических операций:

1) Действия в скобках ();

2) Инверсия ();

3) Конъюнкция (&);

4) Дизъюнкция (V);

5) Импликация (→);

6) Эквиваленция (↔).

Пример 1. Применив соответствующие законы алгебры логики, выполните преобразования F = A Ú Ø (A Ù B) Ú Ø (Ø A Ú B).

Решение.

Применим законы де Моргана и в результате получим:

А Ú Ø А Ú Ø В Ú А Ù Ø В.

Затем применим закон исключенного третьего: А Ú Ø А = 1.

Вынесем Ø В за скобку: Ø В Ú А Ù Ø В = Ø В Ù (1 Ú А).

По законам исключения констант: 1 Ú А = 1 и 1 Ú Ø В = 1

Запишем все преобразования. F = A Ú Ø (A Ù B) Ú Ø (Ø A Ú B) = А Ú Ø А Ú Ø В Ú А Ù Ø В = (А Ú Ø А) Ú Ø В Ù (1 Ú А) = 1 Ú Ø В = 1.

Ответ: F = 1.