Гипотезы

Н₀ Распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами не отличается от равномерного распределения.

Н₁ Распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами отличается от равномерного распределения.

Теперь нам нужно определить теоретическую частоту взгляда при равномерном распределении. Если бы все взгляды невесты распределялись равномерно между 4-мя женихами, то, по-видимому, каждый из них получил бы по 1/4 всех ее взглядов.

Переведем эти рассуждения на более формализованный язык. Теоретическая частота при сопоставлении эмпирического распределения равномерным определяется по формуле: f_теор. = n/k

Все приведенные эмпирические частоты на самом деле пропорциональны количеству благосклонных высказываний невесты о женихах в тексте пьесы. Расчеты будем производить в таблице по алгоритму.

где п - количество наблюдений;

k - количество разрядов признака..

В нашем случае признак - взгляд невесты, направленный на кого-либо из женихов; количество разрядов признака - 4 направленных взгляда, по количеству женихов; количество наблюдений - 32.

Итак, в нашем случае: f_теор. = 32/4 = 8

Теперь мы будем сравнивать с этой теоретической частотой все эмпирические частоты.

На Рис. 4.6 сопоставления эмпирических частот с теоретической представлены графически. Похоже, что области расхождений достаточно значительны, и Никанор Иванович явно опережает других женихов. Иван Павлович еще может на что-то надеяться, но для Ивана Кузьмича и Балтазара Балтазарыча отставка, по-видимому, неизбежна.

Однако для того, чтобы доказать неравномерность получения эмпирического распределения, нам необходимо произвести точные расчеты. В методе они производятся с точностью до сотых, а иногда до тысячных долей единицы.

Алгоритм расчета критерия

1. Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им эмпирические частоты (первый столбец).

2. Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (второй столбец).

3. Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в третий столбец.

4. Определить число степеней свободы по формуле: v=k-1, где k - количество разрядов признака.

5. Возвести в квадрат полученные разности и занести их в четвертый столбец.

6. Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую частоту и записать результаты в пятый столбец.

7. Просуммировать значения пятого столбца. Полученную сумму обозначить как _эмп.

8. Определить по таблице критические значения для данного числа степеней свободы v.

Если _эмп. меньше критического значения, расхождения между рас­пределениями статистически недостоверны.

Если _эмп. равно критическому значению или превышает его, рас­хождения между распределениями статистически достоверны.

Все вычисления для данного случая отражены в Табл. 4.2.

Таблица 4.2

Расчет критерия при сопоставлении эмпирического распределения взгляда Агафьи Тихоновны между женихами с равномерным распределением

Может показаться, что удобнее суммировать все возведенные в квадрат разности между эмпирическими и теоретическими частотами, а затем уже эту сумму разделить на f_т. В данном случае это возможно, так как f_т для всех разрядов одинакова. Однако позже мы увидим, что так бывает далеко не всегда. Нужно быть внимательными или, экономя свое внимание, просто взять за правило всякий раз вычислять (f_эj– f_т )²/ f_т до суммирования.

Необходимо также всякий раз убеждаться в том, что сумма разностей между эмпирическими и теоретической частотами (сумма по третьему столбцу) равна 0. Если это равенство не соблюдается, это означает, что в подсчете частот или разностей допущена ошибка. Необходимо найти и устранить ее прежде чем переходить к дальнейшим расчетам.

Алгоритм вычислений, таким образом, выражается формулой:

где f_эj - эмпирическая частота по j-тому разряду признака;

f_т - теоретическая частота;

j - порядковый номер разряда;

k - количество разрядов признака.

В данном случае:

Для того, чтобы установить критические значения , нам нужно определить число степеней свободы v по формуле: v = k – 1,

где k - количество разрядов.

В нашем случае v = 4 — 1 = 3.

По таблице определяем:

Построим " ось значимости". Ясно, что чем больше отклонения эмпирических частот от теоретической, тем больше будет величина . Поэтому зона значимости располагается справа, а зона незначимости – слева.

К сожалению, на основании этих данных тетушка не сможет дать Агафье Тихоновне обоснованного ответа:

_эмп < _кр.

Ответ: Н₀ принимается. Распределение взгляда Агафьи Тихоновны между женихами не отличается от равномерного распределения.

Но, допустим, тетушка на этом не успокоилась. Она стала внимательно следить за тем, сколько раз племянница упомянет в разговоре каждого из женихов. Допустим, ею получено следующее распределение упоминаний Агафьей Тихоновной женихов и их достоинств: Никанор Иванович - 15 раз, Иван Кузьмич - 6 раз, Иван Павлович - 9 раз, Балтазар Балтазарыч - 6 раз.

Тетушка уже видит, что похоже, Никанор Иванович (" уж такой деликатный, а губы, мать моя, - малина, совсем малина") пользуется большей благосклонностью Агафьи Тихоновны, чем все остальные женихи. У нее есть два пути, чтобы это доказать статистически. 1) Суммировать все проявления благосклонности со стороны невесты: взгляды + упоминания в разговоре, - и сопоставить полученное рас­пределение с равномерным. Поскольку количество наблюдений воз­росло, есть шанс, что различия окажутся достоверными. 2) Сопоставить два эмпирических распределения - взгляда и упоминаний в разговоре, - с тем, чтобы показать, что они совпадают между собой, то есть и во взглядах, и в словах Агафья Тихоновна придерживается одинаковой системы предпочтений. Проанализируем оба варианта сопоставлений. В первом случае мы будем решать уже известную нам задачу сопоставления эмпирического распределения с теоретическим. Во втором случае мы будем сопоставлять два эмпирических распределения.

Первый вариант развития шутливого примера: увеличение количества наблюдений

Вначале создадим таблицу эмпирических частот, в которой будут суммированы все замеченные проявления благосклонности невесты.

Таблица 4

Распределение проявлений благосклонности невесты между женихами

Теперь сформулируем гипотезы.

Н0: Распределение проявлений благосклонности невесты (взгляды и упоминания в разговоре) не отличается от равномерного распределения.

H₁: Распределение проявлений благосклонности невесты отличается от равномерного распределения. Все расчеты произведем в таблице по алгоритму.

Таблица 4.4

Расчет критерия при сопоставлении проявлений благосклонности Агафьи Тихоновны с равномерным распределением

f _т=n/k=68/4=17

v = k – 1 = 3

_эмп. = 12, 71

_эмп. > _кр.

Ответ: Н₀ отклоняется, принимается H₁. Распределение прояв­им благосклонности невесты между женихами отличается от равномерного распределения (р < 0, 01).

На этом примере мы убедились, что увеличение числа наблюдений повышает достоверность результата, если, конечно, в новых наблюдениях воспроизводится прежняя тенденция различий.

Второй вариант развития шутливого примера:

сопоставление двух эмпирических распределений

Теперь мы должны ответить на вопрос, одинаковая ли система предпочтений проявляется во взгляде Агафьи Тихоновны и ее словах?

Сформулируем гипотезы.

Н₀ : Распределения невербально и вербально выражаемых предпочтений

не различаются между собой.

Н₁: Распределения невербально и вербально выражаемых предпочтений различаются между собой.

Для подсчета теоретических частот нам теперь придется составить специальную таблицу (Табл. 4.5). Ячейки в двух столбцах слева обозначим буквами. Для каждой из них теперь будет подсчитана особая, только к данной ячейке относящаяся, теоретическая частота. Это обусловлено тем, что количества взглядов и словесных отзывов невесты о женихах неравны; взглядов 32, а словесных отзывов - 36. Мы должны всякий раз учитывать эту пропорцию.

Таблица 4.5

Эмпирические и теоретические частоты взглядов и упоминаний о женихах

Рассчитаем эту пропорцию. Всего проявлений благосклонней отмечено 68, из них 32 - взгляды и 36 - словесные высказывания. Доля взглядов составит 32/68=0, 47; доля упоминаний - 36/68=0, 53.

Итак, во всех строках взгляды должны были бы составлять 0, 47 всех проявлений по данной строке, а упоминания в разговоре - 0, 53 всех проявлений. Теперь, зная суммы проявлений по каждой строке, мы можем рассчитать теоретические частоты для каждой ячейки Табл.4.5.

f_Атеор=29·0, 47=13, 63

f_Бтеор=29·0, 53=15, 37

f_Втеор=11·0, 47=5, 17

f_{г теор}=11·0, 53=5, 83

f_{д теор}=17·0, 47=7, 99

f_{Е теор} =17·0, 53=9, 01

f_{ж теор}=11·0, 47=5, 17

f_Зтеор=11·0, 53=5, 83

Ясно, что сумма теоретических частот по строкам будет равняться сумме всех проявлений по данной строке. Например,

f_Атеор+f_Бтеор=13, 63+15, 37=29

f_втеор+f_гтеор=5.17+5, 83=11

f_{д теор}+f_{Е теор}=7.99+9, 01=17 и т.д.

При такого рода подсчетах лучше всякий раз себя проверить. Теперь мы можем вывести общую формулу подсчета f_теор для сопоставления двух или более эмпирических распределений:

Соответствующими строкой и столбцом будут та строка и столбец, на пересечении которых находится данная ячейка таблицы. Теперь нам лучше всего сделать развертку Табл. 4.5, представив ячейки от А до Ж в виде первого столбца - это будет столбец эмпирических частот. Вторым столбцом будут записаны теоретические частоты. Далее будем действовать по уже известному алгоритму. В третье столбце будет представлены разности эмпирических и теоретически частот, в четвертом - квадраты этих разностей, а в пятом - результате деления этих квадратов разностей на соответствующие каждой строк» теоретические частоты. Сумма в нижнем правом углу таблицы и будет представлять собой эмпирическую величину (Табл. 4.6).

Таблица 4.6

Расчет критерия при сопоставлении распределений невербальных и вербальных признаков благосклонности невесты

Число степеней свободы при сопоставлении двух эмпирических определений определяется по формуле: v=(k-l)·(c-l).

где к - количество разрядов признака (строк в таблице эмпири­ческих частот);

с - количество сравниваемых распределений (столбцов в таб­лице эмпирических частот).

В данном случае таблицей эмпирических частот является левая, эмпирическая часть таблицы 4.5, а не на ее развертка (Табл. 4.6). Количество разрядов - это количество женихов, поэтому k=4. Количество сопоставляемых распределений с=2. Итак, для данного случая, v=(4-l)(2-l)=3

Определяем по таблице критические значения для v =3:

_эмп. =0, 04

_эмп < _кр.

Ответ: Но принимается. Распределения невербально и вербально выражаемых невестой предпочтений не различаются между собой.

Итак, Агафья Тихоновна весьма последовательна в проявлении моих предпочтений, хотя, по-видимому, сама этого пока не замечает.

Третий вариант развития шутливого примера: сопоставление встречных выборов

К сожалению, в этом пункте мы от комедии вынуждены перейти к драмe - истинной драме любви. Ибо, судя по тексту пьесы, проявляемые женихами признаки влюбленности и симпатии по отношению к невесте отнюдь не соответствуют ее собственной системе предпочтений. У Ивана Павловича, а, главное, у Никанора Ивановича, которому невестой отдается столь явное предпочтение, проскальзывают в разговоре по большей части как раз отрицательные и задумчиво-неодобрительные отзывы о невесте: " Нос велик... Нет, не то, не то... Я даже думаю, что вряд ли она знакома с обхождением высшего общества. Да и знает ли онаеще по-французски".

Благосклонных отзывов (" А сказать правду - мне понравилась не потому, что полная женщина" и т. п.) поступило:

от Никанора Ивановича - ни одного; от Ивана Кузьмича - 15; от Ивана Павловича - 6, от Балтазара Балтазарыча - 18.

Попробуем ответить на вопрос: согласуются ли распределения благосклонных отзывов невесты о женихах и женихов о невесте?

Мы видим, что это действительно особая задача. Мы сопоставим два эмпирических распределения с совпадающей классификацией разрядов, но в одном случае это распределение реакций одного человека на четверых других, а в другом случае это реакции четырех человек на одного и того же человека.

Такая модель взаимных реакций может использоваться отнюдь не только в области брачных консультаций, но и в решении задач " построения команды", выбора заместителя, подбора пар в тех видах деятельности, где требуется активное постоянное взаимодействие, в исследованиях социальной перцепции и взаимного влияния, в тренинге сенситивности и др.

Сформулируем гипотезы.

Н₀: Распределение положительных отзывов невесты совпадает с рас­пределением положительных отзывов женихов.

Н₁: Распределение положительных отзывов невесты не совпадает с распределением положительных отзывов женихов.

Построим таблицу для подсчета теоретических частот.

Таблица 4.7

Эмпирические и теоретические частоты положительных высказываний невесты о женихах и женихов о невесте

Теоретические частоты рассчитываем по известной формуле:

fа _теор=15·36/75=7, 20

fб _теор=15·39/75=7, 80

f_{в теор}=21·36/75=10, 08

f_{Г теор}=21·39/75=10, 92

fд _теор=15·36/75=7, 20

fе_теор=15·39/75=7, 80

fж _теор=24·36/75=11, 52

fз_теор=24·39/75=12, 48

Суммы теоретических частот по строкам совпадают. Все дальнейшие расчеты выполним в таблице по алгоритму.

Таблица 48

Расчет критерия при сопоставлении распределений высказываний невесты о женихах и женихов о невесте

Определим число степеней свободы v по количеству строк k и столбцов с в левой части Табл. 4.7: (k=4, c=2). v=(k-l)-(c-l)=3

Критические значения для v =3 нам уже известны:

=25, 37

_эмп > _кр.

Ответ: Н₀ отвергается. Принимается H₁. Распределение положительных отзывов предпочтений невесты не совпадает с распределением положительных отзывов женихов (р< 0, 01).

Итак, если бы Иван Кузьмич Подколесин не сбежал, Агафью Тихоновну могло бы ожидать не меньшее разочарование: предпочитаемый ею Никанор Иванович, " тонкого поведения человек", ее отвергает.

Мы не рассмотрели лишь третью группу возможных гипотез в методе . Они, как мы помним, касаются сопоставлений одновременно 3 более распределений. Принцип расчетов там такой же, как и при сопоставлении двух эмпирических распределений. Это касается и формулы расчета теоретических частот, и алгоритма последующих расчетов.