Лабораторная работа 1.

Моделирование диффузии примеси в электронных структурах

Цель работы: Рассчитать профили диффундирующих в кремний атомов бора и фосфора.

Теоретическая часть:

Диффузия атомов одного вещества, в частности, бора или фосфора, интенсивно используемых для получения активных областей в приборах интегральной электроники, в объемный образец другого вещества, в частности, кремния, являющегося базовым материалом данной электроники, описывается вторым законом Фика. Его можно записать как

,

где – распределение концентрации диффундирующих в глубь поверхности кремния атомов примеси в определенный момент времени , – коэффициент диффузии соответствующих атомов в кремнии. Точное решение этого уравнения, т.е. нахождение функции возможно, если известны начальное и граничные условия. Начальное условие обычно задается для момента времени в виде – концентрация равна какому-то значению для всех точек в объеме кремния. Чаще всего А = 0. Граничные условия, как правило, задаются для и также в виде установления определенных значений концентрации в этих координатах.

Обычно диффузию атомов примеси в кремнии описывают с помощью двух механизмов – диффузии из бесконечного источника и диффузии из ограниченного источника.

Диффузия из бесконечного источника. Этот механизм задает постоянство концентрации примеси, диффундирующей в глубь кремниевого образца, на его поверхности, а также нулевые значения концентрации в начальный момент времени и на бесконечном удалении от поверхности кремния. Эти условия математически записываются как , , . Используя эти условия, можно получить следующее решение уравнения диффузии, описываемого вторым законом Фика

.

Здесь функция есть дополнительная функция ошибок, которая по определению задается как

.

Значение данной функции можно получить только с помощью численного расчета интеграла. В зависимости от аргумента дополнительная функция ошибок изменяется от 2 для аргументов – 2 и меньше и до 0 для аргументов от 2 и выше.

Диффузия из ограниченного источника. Этот механизм задает постоянство находящегося внутри кремния количества атомов диффузанта, т.е. как бы на поверхность кремния мгновенно произвели осаждение определенного количества атомов примеси и потом эти атомы с течением времени диффундируют в глубь кремния. Физически смысл этого количества атомов в том, что они представляют собой поверхностную концентрацию примеси. Математически начальное и граничные условия записываются как , , . Используя эти условия, можно получить следующее решение уравнения диффузии

.

Учет влияния температуры на диффузию. Физически процесс диффузии представляет собой движение атомов примеси внутри кристалла кремния. Атомы бора и фосфора диффундируют путем занятия вакансий в узлах решетки атомов кремния. Очевидно с изменением температуры процесс диффузии должен каким-то образом менять свой темп, так как атомам диффузанта будет либо легче, либо тяжелее перемещаться по вакансиям. Простой анализ показывает, что с ростом температуры диффузия ускоряется. Это может быть связано с изменением коэффициента диффузии . Был установлен следующий закон зависимости от температуры

,

где – какая-то диффузионная константа, – энергия активация, Кл – заряд электрона, Дж·К^–1 – постоянная Больцмана, – температура. Для атомов бора и фосфора экспериментально были установлены следующие значения диффузионных констант и энергии активации: бор – см²·с^–1, эВ, фосфор – см²·с^–1, эВ.

Ускорение диффузии с ростом концентрации. Однако не только рост температуры ускоряет диффузию – фактически она сама себя ускоряет. Когда в какой-то области кремния концентрация диффундирующей примеси сравняется с собственной концентрацией кремния, сама эта излишняя концентрация примеси становится дополнительным источником диффузии, т.е. диффундирующие в глубь кремния атомы начинают поступать не только от внешнего источника, но и от тех областей внутри кремния, где их становится много – больше собственной концентрации кремния. Это явление можно учесть при определении профиля диффундирующей примеси с помощью следующих моделей коэффициента диффузии.

Для бора при .

Для фосфора при .

Здесь – собственная концентрация кремния, которая является функцией температуры. Но при очень высоких концентрациях примеси – см³ – начинает зависеть и от . Рассчитать величину для конкретных значений температуры и концентрации диффундированной примеси в точке с координатой х можно с помощью следующей модели.

,

,

.

Замечание. В модели собственной концентрации в кремнии размерности всех концентраций [м^–3]. Коэффициент же диффузии дан в размерности [см^3·с^–1] – все расчеты обязательно вести в системе СИ.

Практическая часть:

1. В соответствии со своим вариантом определите какие профили нужно построить. Варианты с 1 по 4 строят профиль бора для механизма диффузии из бесконечного источника и профиль фосфора для механизма диффузии из ограниченного источника. Варианты с 5 по 8 наоборот строят профиль фосфора для механизма диффузии из бесконечного источника и профиль бора для механизма диффузии из ограниченного источника.

2. Нужно построить профили для следующих парампетров

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8
Т, К
, м–3	2·1024	4·1023	5·1023	2·1023	1024	2·1024	7·1023	8·1023
, м–2	4·1015	5·1015	8·1014	3·1015	9·1014	6·1014	1015	2·1015

3. Постройте зависимости для двух моментов времени с и с. Вы должны построить два графика – отдельно для бора и отдельно для фосфора, и на каждом должны быть по четыре профиля.