Однорідні рівняння

Однорідними диференціальними рівняннями називають рівняння вигляду

.

За допомогою підстановки , або , де – нова шукана функція аргументу x, як показав Лейбніц, однорідне рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно, впровадивши вказану зміну, перепишемо рівняння так:

Звідси одержуємо рівняння з відокремлюваними змінними

Відокремлюючи змінні і інтегруючи, одержуємо

Однорідне диференціальне рівняння можна задати у вигляді

при умові, що функції і - однорідні функції одного виміру, тобто функції, для яких мають місце співвідношення:

де - степінь (або вимір) однорідності, > 0.

Наприклад, функції

є однорідними функціями відповідно нульового, першого, другого та -ого виміру.

Зручно проводити тестування однорідних рівнянь, підставляючи до них замість а замість При цьому однорідне рівняння повинно зберігати свій вигляд.

Приклад 3. Розв’язати рівняння

Запишемо рівняння у вигляді

Права частина цього рівняння є однорідною функцією степеня нуль:

Отже, дане рівняння є однорідним. Зробивши підстановку матимемо

або

Відокремлюючи змінні, дістанемо

Після інтегрування маємо загальний інтеграл

,

На закінчення треба змінити на . Загальний інтеграл рівняння має вигляд

.

Потенціюючи, одержимо остаточний результат

Слід зауважити, при відокремлюванні змінних ми припустили, що

Якщо , тоді Кореню відповідає значення яке не належить до області визначення рівняння. Кореню відповідає розв’язок Проте цей розв’язок міститься в загальному розв’язку, тому що його можна отримати із загального при С = 0. Отже при відокремленні змінних втрати розв’язків не відбулося.

Приклад 4. Знайти розв’язок рівняння

який задовольняє початкову умову

Задане рівняння є однорідним, тому що і - однорідні функції одного степеня (степеня 1). Поклавши дістанемо

або