Теорія корисності в системі прийняття рішень

Проблема раціонального вибору є однією з головних економіч­них задач. Кожна з цих задач,, які вирішують виробники і споживачі розв’я­зується в умовах ризику. Результати рішень залежать від випадкових величин, які характеризуються ймовірнісними функціями розподілу. Для того, щоб порівнювати їх ефективність, необхідно вміти порівнювати функції розподілу ефективності. Для задач прийняття рішень в умовах ризику та невизначеності принцип оптимального вибору часто описується за допомогою функції корисності.

Корисність виражає ступінь задоволення особи від споживання товару чи виконання будь-якої дії.

Основним припущенням економічної теорії є припущення про те, що людина завжди робить раціональний вибір. Корисність розглядається як певним чином узагальнені втрати чи виграші, коли всі цінності зведено до однієї шкали. Корисність вимірюють у довільних одиницях, що називаються одиницями корисності, які можна пов’язати з іншими одиницями, наприклад, грошовими. Цей зв’язок і визначає величину корисності для особи, що приймає рішення. Людина завжди обирає той варіант, корисність якого, на її думку, максимальна.

Функцією корисності називається деяка функція , визначена на множині переваг, якщо вона монотонна, тобто з того, що , випливає .

Аксіоми раціональної поведінки наведено у праці Дж. Фон Ней­мана та О. Моргенштерна. За умови виконання цих аксіом автори довели теорему про існування деякої функції, що регулює раціональний вибір, — функції корисності.

Аксіома 1 (повноти). Коли підприємець стикається з двома будь-якими рядами подій, він завжди може сказати, який йому більше до вподоби або йому байдуже, який із рядів подій вибрати. Ця аксіома записується у вигляді:

X ≥ Y (X більше до вподоби, ніж Y, або байдуже);

X ≈ Y (X і Y рівноцінні);

X > Y (X більше до вподоби, ніж Y).

Завдяки аксіомі повноти споживач наділяється здатністю класифікувати (розрізняти) ряди подій, тобто вмінням порівнювати всі альтернативи.

Аксіома 2 (транзитивності). Перевага серед різних рядів подій послідовна, тобто, якщо ряд X > Y, Y > Z, то X > Z. Завдяки аксіомі транзитивності виключається мінливість смаків споживача.

Для щоб господарювання було раціональне, підприємець повинен мати усталений смак, інакше він ніколи не зможе зробити правильний вибір.

Аксіома 3 (неперервності). В умовах аксіоми транзитивності відносно альтернатив X, Y, Z припустимо, що з імовірністю 1 індивід може отримати Y, з імовірністю p — X, а з ймовірністю (1 – p) — Z. Тоді існує таке p, за якого ці дві лотереї для індивіда рівноцінні.

Аксіома 4 (незалежності). Нехай існують блага або товари X і Y, які, на думку індивіда, однакові, та дві лотереї, які відрізняються лише тим, що одна містить X, а друга — Y, тоді ці дві лотереї для індивіда однакові.

Аксіома 5 (нерівних імовірностей). Якщо індивіду запропонувати дві лотереї, які дають однаковий виграш із різною ймовірніс­тю, то він обирає ту, ймовірність виграшу якої більша.

Аксіома 6 (складеної лотереї). Коли призом однієї лотереї є білет іншої лотереї, то індивід приймає рішення лише з міркувань імовірностей виграшу кінцевого призу.

Для визначення корисності використовують поняття лотереї [8]. Для цього експерту пропонують порівняти дві альтернативи:

1) значення показника X;

2) лотерею: отримати з імовірністю або з ймовірністю — .

Величину ймовірності змінюють поступово до такої величини від 0 до 1, доки, на думку експерта, значення показника і лотерея стануть еквівалентними. Тобто всі можливі результати розміщують за зростанням. Корисність найгіршого результату оцінюється як 0, а найкращого — 1 (або як 100): .

Для того щоб оцінити проміжний результат, особі пропонують взяти участь у лотереї. Значення за якого особа відмовиться від гарантованого результату на користь участі у лотереї, беруть для розрахунку корисності: .

Тобто із множини значень відомого показника експерт повинен розрахувати два: і — найбільш пріоритетне і найменш пріоритетне, для яких не гірше за , а не гірше за .

Корисність варіанту визначається ймовірністю — за якої експерту байдуже, що обирати: гарантовано або лотерею , де і — вектори, найбільш і найменш приоритетні порівняно з . Наприклад, маємо два варіанти:

1) отримати гарантовано 100 грн;

2) узяти участь у лотереї: або одержати 50 грн з імовірністю 0, 4, або отримати 150 грн із відповідною ймовірністю 0, 6.

Для кожної людини буде своє значення ймовірності, за якої їй байдуже, що обирати: гроші гарантовано або участь у лотереї. Імовірність перетворюють на корисність, помножуючи на 100, якщо корисність визначається за 100-бальною шкалою, або помножуючи на 10, коли за 10-бальною.

Нехай лотерея приводить до виграшів (подій) із відповідними ймовірностями і відповідними корисностями .

Математичне сподівання виграшу, тобто очікуваний виграш, обчислюють за формулою:

.

Математичне сподівання корисності, тобто очікувану корисність, визначають за формулою:

.

Корисність результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.

Взаємозв’язок ризику з функціями корисності визначається поняттям детермінованого еквіваленту.

Детермінований еквівалент лотереї — це гарантована сума отримання якої еквівалентно участі в лотереї і гарантує особі таку саму корисність, як і участь у ризикованій справі, тобто .

Особу, що приймає рішення, називають несхильною до ризику, коли для неї найбільш пріоритетною є можливість одержати гарантовано очікуваний виграш у лотереї, ніж узяти в ній участь.

Із теорії корисності можна зробити висновок, що корисність лотереї збігається з математичним сподіванням корисності її випадкових результатів. Відповідно до цього умова несхильності до ризику набуває такого вигляду: , тобто корисність сподіваного доходу більше сподіваної кориснос­ті.

Для функції корисності можна розрахувати премію за ризик у лотереї (p(х)) як різницю між очікуваним виграшем і детермінованим еквівалентом:

За своїм фізичним змістом премія за ризик (надбавка за ризик) — це сума в одиницях виміру показника X, якою суб’єкт управління згоден поступитися із середнього виграшу, щоб уник­нути ризику, пов’язаного з лотереєю, і отримати гарантований дохід без ризику.

Коли особа, що приймає рішення, натрапляє на лотерею, менш пріоритетну, ніж стан, у якому вона в даний момент перебуває, то постає питання, скільки б вона заплатила (в одиницях вимірювання критерію X) за свою неучасть у цій лотереї (уникнення її).

Страхова сума — це величина детермінованого еквівалента з протилежним знаком.

Умова схильності до ризику:

, тобто корисність сподіваного доходу менше сподіваної кориснос­ті. ОПР схильна до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція корисності опукла, а графік розгорнутий дзвоном униз. Премія за ризик у випадку схильності до ризику показує, скільки коштів інвестор може додатково отримати або втратити, ризикуючи.

Умова байдужості до ризику набуває такого вигляду:

. ОПР байдужа до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція корисності лінійна, а графік — пряма.Премія за ризик у випадку байдужості до ризику завжди дорівнює нулю.