Г л а в а 2. Плазменные возбуждения в объеме. Плазмоны и поляритоны

2.1. Квазичастицы в плазме

Простейшим примером электрон-фотонного возбуждения в объеме вещества является плазмон, который представляет собой связанное колебание электронного заряда и продольного электрического поля. Под продольным полем понимается поле, волновой вектор в котором параллелен вектору напряженности.

В продольной электромагнитной волне магнитное поле отсутствует, так что остается только электрическое.

Как следует из уравнений Максвелла, закон дисперсии продольной электрической волны в веществе определяется уравнением [1]

, (2.1)

где – продольная часть диэлектрической проницаемости среды на частоте и волновом векторе . Напомним, что законом дисперсии называется связь между частотой волны и ее волновым вектором: . Эта связь, которая может быть получена на основании решения уравнения (2.1), определяет основные характеристики волны, в частности ее фазовую: и групповую: скорости. Таким образом, для определения основных свойств плазмонов необходимо знать явный вид функции .

В случае максвелловской изотропной плазмы функция при (высокочастотный предел) дается выражением

(2.2)

где – электронная плазменная частота (, – концентрация и масса электрона), – тепловая скорость электронов ( – электронная температура в энергетических единицах). Мнимая часть диэлектрической проницаемости (2.2) описывает затухание электрического поля, она мала в пределе В силу изотропии плазмы правая часть равенства (2.2) зависит только от модуля волнового вектора: .

В нулевом приближении по отношению равенство (2.2) сводится к формуле , известной из элементарного курса общей физики. Подставляя это выражение в уравнение (3.1), получаем простой закон дисперсии :

, (2.3)

т.е. в рассматриваемом приближении частота плазмона вообще не зависит от волнового вектора и соответственно групповая скорость продольного колебания электрического поля равна нулю.

В следующем приближении по вкладу волнового вектора находим

(2.4)

где – электронный дебаевский радиус, определяющий пространственный масштаб экранировки электрического поля в плазме. В равенстве (2.4) по-прежнему предполагается, что , так как в противном случае плазмон быстро затухает. Поскольку , имеется следующее ограничение сверху на модуль волнового вектора плазмона: . При больших значениях модуля волнового вектора плазмон «разваливается» на индивидуальные возбуждения электронного заряда в плазме, иными словами, не является хорошо определенной квазичастицей.

Соотношение (2.4) определяет квадратичный закон дисперсии плазменного колебания. Для групповой скорости плазмона из (2.4) имеем: . Отсюда можно получить эффективную «массу» плазмона , если определить ее равенством . Тогда имеем: , т.е. эффективная масса плазмона может быть больше или меньше массы электрона в зависимости от величины отношения . Это отношение велико для вырожденной электронной плазмы в металле и мало в случае невырожденной идеальной плазмы. Величина энергии плазмонов в металлах, когда продольное электрическое поле связано с электронами проводимости, изменяется в пределах от 4 (у калия) до 18, 9 эВ (у бериллия).

В низкочастотном пределе продольная часть диэлектрической проницаемости в первом приближении имеет вид

. (2.5)

Видно, что в низкочастотном пределе диэлектрическая проницаемость (в первом приближении) не зависит от частоты, она определяет статическую экранировку поля внешнего заряда в плазме. Как следует из равенства (2.5), эта экранировка существенна () для , т.е. для длинноволновых статических полей. Это тот же самый диапазон волновых векторов, в котором плазмоны являются хорошо определенными квазичастицами.

Помимо колебаний электронного заряда в плазме существуют и колебания ионной компоненты, характеризующиеся ионной плазменной частотой: (, – концентрация и масса ионов). Поскольку , ясно, что ионная плазменная частота существенно меньше электронной. То же справедливо и для тепловой скорости ионов: ( – ионная температура в энергетических единицах, которая не всегда совпадает с электронной температурой). Ионный радиус Дебая равен

. Поскольку в электронейтральной плазме ( – зарядовое число иона), то в случае равенства электронной и ионной температур радиусы Дебая электронной и ионной компонент равны друг другу с точностью до множителя

Рассмотрим частотный диапазон , который для электронной подсистемы плазмы является низкочастотным.

В нем продольная диэлектрическая проницаемость плазмы, учитывающая ионный вклад, имеет вид

. (2.6)

Здесь второе слагаемое описывает вклад электронной компоненты, а третье – ионной компоненты. В правой части равенства (2.6) опущено мнимое слагаемое, отвечающее затуханию волн, что справедливо при выполнении условия . С использованием диэлектрической проницаемости (2.6) уравнение (2.1) дает следующий закон дисперсии:

, (2.7)

описывающий ионно-звуковую волну. Это еще один тип плазменных колебаний, включающий в себя осцилляции заряда и продольного электрического поля. Для малых модулей волнового вектора равенство (2.7) дает

, (2.8)

т.е. имеем линейный закон дисперсии (рис. 2.1), характерный для звуковых волн, причем величина играет роль скорости звука. Ясно, что всегда выполняется неравенство: , поэтому ионно-звуковая волна не поглощается плазменными электронами. Отметим, что обмен энергией между волной и частицей эффективен только в случае, если фазовая скорость волны равняется скорости частицы. Поэтому, чтобы не было поглощения ионно-звуковой волны на плазменных ионах, необходимо выполнение неравенства , т.е. должно быть .

Для коротковолновых ионно-звуковых волн из (2.7) следует простое равенство , т.е. исчезает зависимость частоты от волнового вектора (горизонтальный участок нижней кривой, рис. 2.1). Для больших значений волнового вектора ионно-звуковая волна сильно затухает, переставая быть хорошо определенной квазичастицей.

Рис. 2.1. Дисперсионные зависимости для плазмона (верхняя кривая) и для ионно-звуковой волны (нижняя кривая)

2.2. Поляритоны в диэлектрике

Рассмотрим теперь другой тип связанного электрон-фотонного возбуждения (или квазичастицы), которое может распространяться в твердом теле. В этом возбуждении, называемом поляритоном, вектор напряженности электрического поля перпендикулярен волновому вектору, т.е. соответствующая волна является поперечной. Как известно, в поперечной электромагнитной волне присутствуют оба поля: электрическое и магнитное, причем при распространении в вакууме их амплитуды равны. Этим поляритон отличается от плазмона, с которым связано только продольное электрическое поле.

Из уравнений Максвелла следует следующий закон дисперсии для поперечной электромагнитной волны:

, (2.9)

где – поперечная часть диэлектрической проницаемости среды, зависящая от частоты (частотная дисперсия) и волнового вектора (пространственная дисперсия). Ясно, что, как и в случае продольной волны, для определения закона дисперсии поперечного электромагнитного возмущения необходимо знать явный вид функции , который, вообще говоря, неизвестен. Поэтому воспользуемся модельной диэлектрической проницаемостью вещества следующего вида:

. (2.10)

Модель (2.10) предполагает, что основной частотно-зависимый вклад в диэлектрическую проницаемость дает одно квантовое возбуждение среды с собственной частотой и силой осциллятора . Это возбуждение может быть связано, например, с электронным переходом в примесных центрах, концентрация которых определяет плазменную частоту, фигурирующую в правой части равенства (2.10): . Не зависящее от частоты слагаемое связано с вкладом в диэлектрическую проницаемость основного вещества. В модели (2.10) пренебрежено пространственной дисперсией диэлектрической проницаемости, что оправдано для случая примесного центра в твердом теле, размер которого много меньше, чем длина волны рассматриваемого возбуждения.

Решение уравнения (2.9) с диэлектрической проницаемостью (2.10) дает две дисперсионные зависимости для поперечных электромагнитных волн в среде:

, (2.11)

, (2.12)

где и .

Графики функций (2.11) – (2.12) приведены на рис. 2.2 для следующих значений параметров: , , , тогда и .

Из рис. 2.2 видно, что асимптотами дисперсионных кривых являются прямые 3, 4 и 5. Зависимость 3 представляет собой линейный закон дисперсии в среде без квантового возбуждения. Линия 4 описывает квантовое возбуждение среды и не зависит от волнового вектора излучения. Наконец, прямая 5 соответствует частоте , которая включает в себя эффект перенормировки энергии квантового возбуждения среды за счет взаимодействия с электромагнитным полем. Чем больше это взаимодействие, пропорциональное разности , тем сильнее отличие дисперсионных кривых от ломаных прямых линий.

Таким образом, законы дисперсии поперечных электромагнитных волн (2.11) – (2.12) описывают макроскопическое электромагнитное поле, связанное с квантовым возбуждением среды.

Рис. 2.2. Дисперсия поперечных волн в среде при наличии одного квантового возбуждения: 1 – ; 2 – ; 3 – ; 4 – ; 5 –

Существенно, что групповая скорость поляритона на верхней дисперсионной ветви стремится к нулю с уменьшением волнового вектора, а групповая скорость на нижней дисперсионной кривой стремится к нулю в пределе больших волновых векторов (см. рис. 2.2). Это говорит о том, что верхняя кривая в пределе малых длин волн описывает фотон в среде, а в пределе длинных волн – возбуждение примесного центра. Нижняя кривая, наоборот, для больших длин волн отвечает фотону в среде, а для малых длин волн соответствует возбуждению примесного центра.

Важно отметить, что в частотном интервале распространяющееся макроскопическое поле отсутствует, поскольку в нем диэлектрическая проницаемость среды отрицательна. Таким образом, промежуток может быть назван поляритонной запрещенной зоной по аналогии с энергетическим спектром электронов в твердом теле.