Понятие о Чебышевской сети и ее основные свойства

Сетчатые материалы обладают определенными свойствами без знания, которых невозможно правильно решать вопросы конструирования одежды. Вследствие игнорирования свойств материалов, многие вопросы повышения качества конструкции одежды остаются сегодня нерешенными.

1878г. П.Л.Чебышев «О кройке одежды». В основе методов получения разверток поверхностей лежит решение задачи дифференциальной геометрии. Основной задачей расчета разверток является определение их рациональной формы, обеспечивающей одевание данной поверхности плоским материалом наиболее простым методом при минимальной площади разверток и наименьшем количестве швов.

В следствии того, что ткань является сетчатым материалом, она образует на кривой поверхности криволинейную сеть, у которой противоположные стороны каждого четырёхугольника равны между собой.

В дифференциальной геометрии два семейства линий, пересекающихся на поверхности называется сетью. Сеть, образующая на поверхности квадрат с равными противоположными сторонами называют чебышевской сетью (по имени академика П.Л. Чебышева, впервые обратившего внимание на особенность ткани при изменении угла между двумя системами нитей не изменять длинны сторон в образовавшемся квадрате).

Из этого определения следует, что если на заданной поверхности определить положение двух пересекающихся линий, но остальные линии располагались параллельно (эквидистантно) займут строго определенное единственное положение, то есть расстояние между линиями каждого семейства сети, но линии другого семейства равны между собой (см. рис. 14.1).

Рис.44

Поэтому Чебышевская сеть может быть пересена на любую дифференцируемую поверхность путем параллельного переноса линий сети. Для этого сначала на поверхности задают две пересекающиеся исходящие линии сети. Обычно за исходящие линии сети принимают ортогональные геодезические линии. На криволинейной поверхности не может быть кривых линий, но срезы всевозможных кривых, которые соединяют две точки на поверхности, мы можем найти наименьшую кривую, то есть кратчайшую линию. Эта линия, по которой располагается на гладкой поверхности упругая натянутая нить выполняя роль аналогичной прямой на плоскости. Такие линии называются геодезическими.

Для построения Чебышевских сетей на поверхности используются Г и Т образные геодезические угольники и геодезический циркуль представляющий собой узкую полоску из нерастяжимого материала с двумя отверстиями для иглы и карандаша.

На поверхности с небольшой кривизной геодезический циркуль можно заменить обычным, т. к. погрешность невелика.

Рассмотрим как определённая Чебышевская на поверхности шара.

На исходящих ортогональных геодезических осях с небольшими интервалами задается ряд точек. Из этих точек как из центров проводят дуги геодезических окружностей. Геодезическими радиусами на их пересечении получается точка а, из точек а1 и 2 теми же радиусами проводят оси геодезических окружностей – получают точку а2 и т.д.

Таким образом, на поверхности может быть образована Чебышевская сеть. Измерив длину всех координат линий сети нанесенных на поверхности их можно перенести на плоскость в ортогональную прямоугольную систему координат. В результате чего получим развертку Чебышевской сети на плоскости.