Решение матричных игр в смешанных стратегиях

Лабораторная работа. Матричные игры Решение матричных игр в чистых стратегиях

Решение игры в чистых стратегиях для матрицы определенной размерности легко автоматизировать, разработав электронную таблицу. Используемые функции в MS Excel для нахождения цены игры: МАКС, МИН, ЕСЛИ.

Задание. На основании рисунка создать модель решения данной игры в чистых стратегиях в MSExcel.

Решение матричных игр в смешанных стратегиях

Задача. Две отрасли могут осуществлять капитальные вложения в 3 объекта. Стратегии отраслей: i -я стратегия состоит в финансировании i -го объекта (i = 1, 2, 3). Учитывая особенности вкладов и местные условия, прибыли первой отрасли выражаются следующей матрицей:

Величина прибыли первой отрасли считается такой же величиной убытка для второй отрасли - представленная игра может рассматриваться как игра двух игроков с нулевой суммой.

Решение. Решим матричную игру в MS Excel, записав ее как задачу линейного программирования

Рассмотрим игрока А. Будем искать оптимальную смешанную стратегию игрока А: , где – частота (вероятность) использования игроком А своей i -стратегии ().Обозначим цену игры (средний выигрыш) – .

Чтобы свести матричную игру для игрока А к задаче линейного программирования преобразуем платежную матрицу так, чтобы все ее элементы были больше нуля – прибавим ко всем элементам матрицы число 4. Получаем преобразованную платежную матрицу:

Средний выигрыш А должен быть не меньше цены игры при любом поведении игрока В. Так, если игрок В использует свою первую стратегию, то средний выигрыш игрока А составит: , получаем неравенство . Аналогично, записав неравенства для стратегий В₂ и В₃, получаем систему линейных ограничений:

Из условия , разделив обе части уравнения на (цена игры больше нуля, т.к. все элементы преобразованной матрицы больше нуля), получаем целевую функцию . Цель игрока А – получить максимальный средний выигрыш, т.е. , а значит . Если обозначить (i =1, 2, 3), то целевая функция .

Перейдем в системе ограничений к переменным , разделив каждое неравенство на :

Таким образом, для нахождения оптимальной стратегии игрока А необходимо решить задачу линейного программирования:

найти значения переменных , удовлетворяющих системе ограничений

:

и условию , при котором функция принимает минимальное значение.
Решим задачу средствами табличного редактора MS Excel.

1. Оформим расчетную таблицу, как показано на рисунке 1:

– ячейки В2, В3, В4 играют роль переменных ;

– в ячейке В8 вычисляется значение целевой функции;

– в ячейках В12, В13, В14 вычисляются левые части ограничений.
2. В меню СЕРВИС выбираем команду ПОИСК РЕШЕНИЯ (если нет такого пункта меню, то сначала необходимо в меню СЕРВИС выбрать команду НАДСТРОЙКИ, в появившемся диалоговом окне установить флажок на пункте ПОИСК РЕШЕНИЯ и нажать кнопку ОК; теперь в меню СЕРВИС будет команда ПОИСК РЕШЕНИЯ).

Рис. 1. Пример оформления решения матричной игры в MS Excel

3. В окне ПОИСК РЕШЕНИЯ введем необходимые параметры (см. рис. 2):

– укажем целевую ячейку (В8) – та, в которой вычисляется значение целевой функции;

– выберем переключатель МИНИМАЛЬНОМУ ЗНАЧЕНИЮ (целевую функцию необходимо минимизировать);

– в поле ИЗМЕНЯЯ ЯЧЕЙКИ укажем диапазон, который играет роль переменных, т.е. В2: В4;

Рис. 2. Ввод параметров в окне ПОИСК РЕШЕНИЯ

– введем систему ограничений с помощью, нажав кнопку ДОБАВИТЬ. При этом появится диалоговое окно ДОБАВЛЕНИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ (см. рис.3).

Первое ограничений:

Þ в поле ССЫЛКА НА ЯЧЕЙКУ вводим диапазон, где вычислены левые части неравенств из системы ограничений задачи (все три неравенства можно ввести сразу, так как они одного смысла – больше или равно) – В12: В14;

Þ в открывающемся списке выбираем знак неравенства;

Þ в поле ОГРАНИЧЕНИЕ указываем диапазон, где хранятся правые части неравенств системы ограничений задачи – C12: C14;

Þ нажимаем кнопку ДОБАВИТЬ (при этом окно не исчезнет и можно будет ввести новое ограничение).

Рис. 3. Окно ДОБАВЛЕНИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ

Второе ограничение (условие неотрицательности переменных):

Þ в поле ССЫЛКА НА ЯЧЕЙКУ вводим диапазон ячеек, которые играют роль переменных – В2: В4;

Þ выбираем знак неравенства;

Þ в поле ОГРАНИЧЕНИЕ вводим с клавиатуры ноль;

Þ нажимаем кнопку ОК.

4. Осталось в окне ПОИСК РЕШЕНИЯ нажать кнопку ВЫПОЛНИТЬ и увидеть результат решения задачи (см. рис. 4):

Рис. 4. Результаты решения для игрока А

Получили: . Так как и , то , – это решение для игры, заданной матрицей В (преобразованной матрицы). Для матрицы А: компоненты смешанной стратегии не меняются, а цена игры меньше на число, которое прибавляли ко всем элементам матрицы А, т.е. на 4.

Окончательный результат: , .