Нелинейные системы автоматического управления и их особенности. Линеаризация нелинейных характеристик

Нелинейныминазываются системы автоматического управления, содержащие хотя бы один нелинейный элемент или элемент с ограниченным по величине воздействием (ограниченной мощностью, перемещением и т. п.).

К нелинейным относятся элементы, имеющие переменный коэффициент усиления. Если с увеличением отклонения коэффициент усиления уменьшается, то это аналогично насыщению или ограниченной мощности. Однако в некоторых случаях специально конструируется нелинейные элементы, у которых с увеличением отклонения коэффициент усиления увеличивается. К нелинейным элементам относятся также логические устройства, с помощью которых могут быть сформированы нелинейности весьма разнообразных форм.

Нелинейные системы могут содержать один или несколько нелинейных элементов, образующих различные сочетания с линейными элементами. Перечислим виды нелинейных звеньев:

1) звено релейного типа;

2) звено с кусочно-линейной характеристикой, а также звенья, описываемые кусочно-линейными дифферен­циальными уравнениями;

3) звено с криволинейной характеристикой любого очертания;

4) звено, уравнение которого содержит произведение переменных или их производных и другие их комбинации;

5)нелинейное звено с запаздыванием, причем запаздывание
понимается в смысле, а нелинейность может иметь любой вид;

6) нелинейное импульсное звено;

7) логическое звено.

Различают статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые – в виде нелинейных дифференциальных уравнений.

получается система обыкновенных линейных уравнений, к которым добавляется одно-два (иногда более) нелинейных. В соответствии с этим обобщенную структурную схему любой нелинейной системы автоматического регулирования в случае одного нелинейного звена можно представить в виде (см. рисунок 1.2, а), где линейная часть может иметь структуру любой сложности (с обратными связями и т. п., как, например, рисунок 1.2, б или в).

Рисунок 1.2 – Структурная схема нелинейной системы автоматического управления в случае одного нелинейного звена

Метод гармонической линеаризации является приближенным, полученным в результате распространения частотных методов на исследование нелинейных систем [1, 3, 5, 6, 7].

Предложено несколько разновидностей применения гармонической линеаризации (метод гармонического баланса Н. И. Крылова и Н. Н Боголюбова, метод Б. В. Булгакова), но все они близки между собой. В основу этих разновидностей положены частотная или гармоническая линеаризация нелинейностей и понятие об эквивалентном коэффициенте усиления нелинейного элемента.

Метод гармонической линеаризации позволяет:

- определить условия устойчивости нелинейной системы (найти значения изменяемых параметров, при которых система будет устойчива);

- определить возможные автоколебания в системе;

- найти частоту и амплитуду автоколебаний.

Применение метода возможно при условии, что характеристики элементов не меняются с течением времени и что выходная величина нелинейного элемента зависит от значений входной величины и не зависит от ее производных и интегралов.

Рисунок 1.9 - Графическое решение линейного и линеаризованного уравнений

Если амплитудно-фазовая характеристика линейного элемента и амплитудная характеристика нелинейного элемента не пересекаются (см. рисунок 1.9, б), то в системе автоколебания невозможны. Если указанные кривые касаются друг друга (см. рисунок 1.9, в), то система (приближенно) находится на границе устойчивости.

Имея амплитудную характеристику линейного элемента, можно так выбрать параметры линейной части системы, чтобы указанные кривые не пересекались и следовательно, система была устойчивой.

Устойчивость колебаний в системе можно оценить следующим способом, который не является достаточно строгим, но в большинстве случаев дает правильные результаты. Дадим небольшое приращение амплитуде колебаний в точке В (см. рисунок 1.9, а). При положительном приращении + ∆ А на обратной амплитудной характеристике получим, например, точку, а при отрицательном приращении - ∆ А – точку.

Если амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой линейной части не охватывает точку, соответствующую положительному приращению амплитуды ∆ А, и охватывает точку, соответствующую отрицательному приращению амплитуды ∆ А, то автоколебания будут устойчивы. В соответствии с этим определением автоколебания в точке В, где на рисунке 1.9, а – устойчивы, а в точке С – неустойчивы.

Метод гармонической линеаризации позволяет правильно выбрать параметры изменяемой части нелинейной системы. Метод гармонической линеаризации применим и при наличии в системе нескольких нелинейности при различном их сочетании с линейными звеньями.

13 Законы оптимального управления частотно – регулируемым асинхронным приводом центробежных насосов.

При частотном управлении значение электромагнитного момента зависит от частоты и величины напряжения, приложенного к статору электрической машины. Скалярное управление подразумевает управление двумя каналами, заранее связанное какой – либо зависимостью. Законы частотного управления – это соотношения между частотой ω ₁ и напряжением U₁, подаваемыми на статор двигателя АД, обеспечивающие заданные статические характеристики привода. Распространенным на практике является регулирование при постоянном магнитном потоке (U₁/ω ₁=const). С точки зрения энергетики привода, этот вариант может быть использован только при постоянной нагрузке, так как с уменьшением последней поток становится избыточным, что приводит к завышению потерь и неоптимальности этого закона регулирования при переменном моменте нагрузки.

Наличие двух независимых каналов управления дает возможность реализовать в системах частотного регулирования оптимальное управление. Первым из таких вариантов является закон сохранения постоянной перегрузочной способности двигателя, предложенный академиком М.П.Костенко:

Закон определяет, как надо изменять напряжение, когда двигатель с номинальной частоты питания ω _1Н переходит на пониженное (повышенное) значение частоты ω ₁, и что для выяснения нового значения напряжения необходимо учитывать свойства нагрузки. Управляя двигателем в соответствии с выражением (1) при ненасыщенной магнитной системе машины, можно сохранить практически неизменным коэффициент мощности и абсолютное скольжение привода, а его КПД независимым от изменения скорости.

Из (1) следует зависимость формы взаимосвязанного управления частотой и напряжением от вида нагрузки. Для «упрощенной» центробежной нагрузки, при М_С ≡ ω ^α , (2) приобретает вид

Вывод соотношения (1) справедлив при условии пренебрежения падением напряжения на активном сопротивлении обмотки статора, то есть для крупных машин в диапазоне изменения частот 2: 1. При низких частотах увеличивается влияние r₁ относительно индуктивных сопротивлений. Напряжение, приложенное к обмотке статора, уравновешивается ЭДС Е ₁, индуктируемой основным потокам, и падениями напряжения на активном и индуктивном сопротивлениях:

где w₁, K₀₁ - число витков и обмоточный коэффициент обмотки статора.

Из (3) следует, что принципиальная необходимость регулирования напряжения при изменении частоты обусловлена, если отвлечься от предъявляемых к характеристикам двигателя требованиям, насыщением магнитопровода электрической машины. Во избежание насыщения при снижении частоты необходимо уменьшать подводимое к двигателю напряжение.

Для машин средней и малой мощности, а также при широком диапазоне регулирования, оптимальный закон Костенко уточняется:

На рисунке 1 представлены механические характеристики АД, работающего на центробежную нагрузку и управляемого по закону (1) и рассчитанные по скорректированному соотношению (2) (обозначены пунктиром).

Рисунок 1 - Механические характеристики привода ПЧ-АД при центробежной нагрузке