Дәріс. Сандық техниканың логикалық және арифметикалық негіздері

Дә рістің мазмұ ны: сандық техниканың негізгі ұ ғ ымдары мен анық тамаларын ең гізу, арифметика жә не екілік сандарды кодтау, логика алгебрасының негіздері.

Дә ріс мақ саты: сандық техниканың негізгі ұ ғ ымдары мен анық тамаларымен танысу, бір санау жү йесінен екінші санау жү йесіне аударудың жә не екілік арифметиканың негізгі ережелерін мең геру, екілік сандарды кодтау тә сілдері жә не аксиомаларды зерттеу, логика алгебрасының негізгі заң дары мен ережелері.

Хабарлама немесе сигнал деп кейбір материалдық тұ рғ ыда жү зеге асырылғ ан ақ парат. Ө згеретін шама (функция) уақ ыттың нақ ты мә ндерінде орын алуы мү мкін кезде, сигналдар аналогты (ү здіксіз) немесе дискретті (сандық) болуы мү мкін. Сандық сигналдар тек 1 жә не 0 сандарының тізбегінен тұ рады. Оларды логикалық деп атайды. Себебі осындай екілік сигналдармен жұ мыс жасау ережелерін бекітетін, логика алгебрасы деп аталатын, математиканың бө лімі бар. Сандық сигналдарды ө ң деу ә дістері жә не сә йкес келетін қ ұ ралдар мен жү йелер сандық немесе логикалық деп аталады. Сигналдарды екі тү рде кө рсетуге болады: потенциалды жә не импульсты. Бірінщі жағ дайда ең ү лкен физикалық шама, мысалы, кернеуге логикалық 1 сә йкес келеді, ал ең кіші шамағ а – логикалық 0 (оң логика), егер керісінше болса, онда теріс логика орын алады. Екінші жағ дайда белгілі бір уақ ытта импульстің пайда болуы логикалық 1 cә йкес келеді, ал оның болмауы – логикалық 0-ге. Ең кө п тарағ ан сандық қ ұ ралдар - сандық сигналдарды потенциалды тү рде кө рсетуді қ олданатын, ә сіресе оң логиканы, сандық микросұ лбалар тү рінде жү зеге асырылғ ан сандық қ ұ ралдар.

Сандық техника екілік санау жү йесін қ олданады, себебі тек екілік тү рде кө рсетілген сандарды ө ң дейді. Бірақ екілік сандарды микропроцессорлық техникада қ ысқ а тү рде жазу ү шін сегіздік жә не он алтылық санау жү йелерін қ олданады.

Санау жү йесі – бұ л сандарды сандық символдармен жазу тә сілі. Санау жү йелерін позициялы жә не позициялы емес деп бө леді. Позициялы емес санау жү йесінде символдың мағ ынасы, оның санның ішіндегі орнына байланысты емес, ал позициялы санау жү йесінде байланысты.

Кез келген санды барлық санау жү йелерінде келесі полином тү рінде жазуғ а болады

,

Мұ нда, q – санау жү йесінің негізі; - негіздің дә режелеріндегі коэффициенттер (); - санның разрядтарының салмақ тары. Екілік санау жү йесінде q = 2 жә не екі коэффициент қ олданылады (1 и 0). 101101, 101 екілік санын келесі полином ретінде кө рсетуге болады: .

Екілік арифметика ө те жең іл. Сандық қ ұ рылғ ыларда қ олданылатын негізгі арифметикалық операция қ осу болып табылады, себебі алуды алынатын санның таң басын ө згерте отырып қ осындығ а ауыстырса болады, ал кө бейту мен бө луді – қ осу мен алу операцияларына жә не кейбір логикалық амалдарғ а. Екілік сандарды арифметикалық қ осу немесе алу кезінде екі логикалық 1 бір разрядта орналаса алмайтынын, яғ ни олар кө рші жоғ арғ ы разрядқ а бір логикалық 1 ретінде кө шетінін есте сақ тау қ ажет.

Сегіздік санау жү йесінде q = 8 жә не сегіз коэффициент қ олданылады (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). сегіздік санды келесі полином тү рінде кө рсетсе болады .

Он алтылық санақ жү йесінде q = 16 жә не он алты коэффициент қ олданылады (0-ден 9-ғ а дейінгі сандар жә не латын алфавитінің алғ ашқ ы ә ріптері). Он алтылық санды келесі полином ретінде кө рсетуге болады .

Бө лшек санды ондық санау жү йесінен басқ а санау жү йесіне аудару екі этаптан тұ рады:

1) санның бү тін бө лігі, оны жү йенің негізіне қ алдық қ алғ анша бө лу арқ ылы аударылады, қ алдық жү йенің негізінен ү лкен болуы қ ажет жә не шық қ ан сан оң нан солғ а қ арай жазылады;

2) бө лшек бө лігі, оны санау жү йесінің негізіне кө бейтіп, ү тірден кейін қ алдық қ алмағ анша немесе берілген дә лдік дә режесіне жеткізу арқ ылы аударылады. Шық қ ан сан ү тірдің сол жағ ынан жоғ арыдан тө мен қ арай жазылады. 1-суретте 45, 75 ондық санының екілік санау жү йесіне аудару мысалы кө рсетілген.

1) 45 2 2) 0, 75

1 22 2 2

0 112

1 5 2 1, 50

1 2 2 2

0 1 1, 00

Жауабы: 45, 75₁₀ = 101101, 11₂

1-сурет — ондық санау жү йесінен екілік санау жү йесіне аудару мысалы

Кері аудару ү шін бар болғ аны екілік санның бірлік разрядтарының салмақ тарын қ осу қ ажет .

1-кестеде ө су ретімен орналасқ ан шынайы ондық сандар қ атары кө рсетілген, олардың ә рқ айсысына екілік эквивалент сә йкес келеді.

1-кесте

0

1-кесте жалғ асы

9								∙ ∙ ∙
								∙ ∙ ∙

Осы ондық сандарды кодтау ә дісінің кемшіліктері:

а) ондық сандардың бірегейлік диапазонын ү лкейту ү шін қ ұ рылғ ылардың разрядтылығ ын ү лкейту қ ажет;

ә) шынайы кодтан ондық жү йеге ө туді жузеге асыру техникалық қ иын;

Екілік-ондық кодтау жү йесінде бұ л кемшіліктер жоқ, ө йткені 0-ден 9-ғ а дейінгі ә р ондық санғ а тетрада тү рінде екілік эквивалент береді, яғ ни тө ртразрядты екілік сан. Мысалы, осындай кодтау ә дісінде 1-кестеге сә йкес 37 санын 0011 0111 тү рінде кө рсетуге болады. Осығ ан орай, екілік-ондық кодтау кезінде ондық сандарды екілік тү рде кө рсету арқ ылы ондық санау жү йесі сақ талады.

Алгебра логикасы сандық қ ұ рылғ ылар жұ мысының анализі мен синтезінің математикалық база рө лін атқ арады. Оның негізі ү ш логикалық функция болып табылады: логикалық қ осу (дизъюнкция), логикалық кө бейту (конъюнкция) жә не логикалық терістеу (инверсия). 2-суретте НЕМЕСЕ, ЖӘ НЕ, ЕМЕС логикалық элементтері жә не сә йкесінше жү зеге асыратын функциялар кө рсетілген.

НЕМЕСЕ ЖӘ НЕ ЕМЕС

			х			Y

∙ ∙

∙ ∙

2-сурет – Негізгі базистің логикалық элементтері

Егер НЕМЕСЕ логикалық элементінің кем дегенде бір кірісіне логикалық 1 келсе, кірістік екілік айнымалылардың логикалық қ осындысынан шығ ысы логикалық 1 тең болады. Егер барлық кірістеріне логикалық 0 берілсе, шығ ысында логикалық 0 болады. Екілік айнымалылардың логикалық кө бейтіндісі кезінде ә рдайым шығ ысы логикалық 0 тең, егер ЖӘ НЕ логикалық элементінің кем дегенде бір кірісіне логикалық 0 келетін болса. Егер барлық кірістеріне логикалық 1 келетін болса, шығ ысында логикалық 1 болады. Логикалық терістеу кезінде ЕМЕС логикалық элементінің шығ ысы ә рдайым екілік мағ ынасының кірісін инверттейді. Іс жү зінде НЕМЕСЕ-ЕМЕС, ЖӘ НЕ-ЕМЕС логикалық элементтер кө п қ олданысқ а ие. Олар екі логикалық функцияны орындайды: теріс нә тижелі логикалық қ осынды жә не сә йкесінше теріс нә тижелі логикалық кө бейту. ЖӘ НЕ, НЕМЕСЕ, ЕМЕС логикалық элементтері логикалық қ ұ рылғ ылар қ ұ рылысындағ ы негізгі базисті қ ұ райды.

Логикалық функцияны қ ұ рылымдық формула арқ ылы берсе болады, яғ ни тең дік арқ ылы. Тең діктің сол жағ ында ә ріп жазылғ ан, ол логикалық функцияның мә нін береді, ал оң жағ ында – логикалық ө рнек.

Логикалық ө рнектің екі формасы бар: жетілген дизюнктивті нормалы форма (ЖДНФ) жә не жетілген конъюнктивті нормалы форма (ЖКНФ).

ЖДНФ – бұ л минтермдердің логикалық қ осындысы, логикалық функция бірге тең. Минтерм – бұ л терістеумен немесе терістеусіз кө рсетілген кіріс айнымалыларының логикалық туындысы.

ЖКНФ – бұ л макстермдердің логикалық туындысы, логикаық функция нө лге тең. Макстерм – бұ л терістеумен немесе терістеусіз кө рсетілген кіріс айнымалыларының логикалық қ осындысы.

Сандық қ ұ рылғ ыларды жобалағ ан кезде қ ұ рылымдық формулаларды жиі ө згерту қ ажеттілігі туындайды. Ол ү шін аксиомалар мен алгебра логикасының заң дарынан шығ атын байланыстарды қ олданады.

Логикалық қ осу, кө бейту жә не терістеу ережелерін қ оладана отырып, ә ділдіктерін дә лелдеуге болатын аксиомаларды қ арастырайық.

- кейбір логикалық айнымалы болсын, онда

Қ осу жә не кө бейту логикалық операциялары ү шін кө шіретін жә не ү йлестіретін заң дар ә діл болады. Орналастыратын заң ның тек бірінші бө лігі (жақ шаны ашу ережесі) ғ ана кә дімгі алгебрағ а сә йкес келеді, ал екінші бө лігі (жақ шағ а алу ережесі) тек логика алгебрасында ғ ана орын алады.

Қ ұ рылымдық формулаларды ө згерту ү шін іс жү зінде ең кө п қ олданатын логика алгебрасының кейбір ережелерін қ арастырайық. жә не де Морган ережесі. Бұ л ереже логикалық кө бейтуді қ осумен ауыстыруғ а жә не керісінше жасауғ а мү мкіндік береді. жә не жабыстыру ережесі. Жабыстыру ережесіне Карно карталарының графикалық ә дістері мен логикалық функцияларды минимизациялау ү шін арналғ ан Вейч диаграммалары негізделген.