Обратная решетка и зона Бриллюэна

Бегущая волна, описывающая решения колебательной задачи, определяют смещения лишь в тех точках, где есть частицы, т.е. при r _n= a ₁ n ₁ + a ₂ n ₂ + a ₃ n ₃.

Дискретность системы (решетка), где распространяется волна, приводит к тому, что волновой вектор k, характеризующий волну, может быть задан с точностью до постоянной (как и в одномерном случае). Действительно, заменяя в выражении для функции Блоха вектор k на вектор k′ = k + K _m, где

K _m= b ₁ m ₁ + b ₂ m ₂ + b ₃ m ₃

–целочисленный вектор обратной решетки, а b ₁, b ₂, b ₃ -вектора обратной решетки, определяемые следующим образом:

.

легко проверить, что

,

поскольку элементарные вектора обратной решетки b _i выбраны таким образом, что

(b _i, a _j) = 2 pd_ij ,

так что

(K _m, r _n)=2p(n ₁ m ₁+ n ₂ m ₂+ n ₃ m ₃)=2p*(целое число).

Таким образом, волна с волновым вектором k′ = k + К _m совпадает с волной с вектором k, т.е. эти два вектора физически неотличимы. Поэтому изменения волнового вектора k необходимо рассматривать в ограниченной области (как и в случае одномерной цепочки). Величина (k, r_n) в показателе экспоненты может быть задана с точностью до постоянной 2p(целое число), т.е. величина (k, r_n) всегда может быть выбрана в интервале 2p. Поскольку решения колебательной задачи инвариантны относительно замены k на –k, то удобно рассматривать для произведения (k, r_n) симметричный интервал от – p до + p, чтобы учесть волны, распространяющиеся как в одну, так и в противоположную стороны. В случае прямоугольной ячейки вектора a ₁, a ₂ и a ₃ ортогональны друг другу и, полагая, что K_m = b_i, а r _n = a _j, получим для произвольного вектора k _l:

(k _l + K _m, r _n)=(k _l + b _i, a _j)=(k _l, a _j)+2 π ;

–p < (k_la_j) < +p –p/a_j < k_l < +p/a_j.

Рис. 27. Построение обратной решетки и первой зоны Бриллюэна.

Построение обратной решетки и первой зоны Бриллюэна для плоской косоугольной решетки показано на рис. 27. а) прямая плоская решетка с элементарными векторами трансляции a ₁и a ₂; б) обратная решетка, построенная на векторах b ₁и b ₂ , которые ортогональны соответственно векторам a ₁и a ₂. Нарисованные вектора k и k+K_m (K_m =m ₁ b ₁ +m ₂ b ₂ – целочисленные вектора обратной решетки) описывают одно и то же решение колебательной задачи, поскольку (K_m,, r_n) = 2 p (n ₁ m ₁ +n ₂ m ₂). Областью периодичности решений поэтому является элементарная ячейка обратной решетки (заштрихованная область 1). Однако из-за соображений симметрии и простоты выбирают область периодичности, в которую входят как положительные векторы k, так и отрицательные –k, поскольку они описывают одинаковые волны, распространяющиеся в кристалле в противоположные стороны. Эта область периодичности 2, построенная как ячейка Вигнера-Зейца обратной решетки, носит название первой зоны Бриллюэна. в) Первые несколько зон Бриллюэна плоской прямоугольной решетки. В правой части рисунка показаны вектора обратной решетки, проведенные от центрального узла к более далеким узлам решетки и плоскости, проходящие через их середину и перпендикулярные им. Ограниченные этими плоскостями области обратного пространства представляют первую, вторую, третью и т.д. зоны Бриллюэна. Эти зоны имеют одну и ту же площадь и могут быть сведены к первой зоне Бриллюэна путем переноса на целочисленный вектор K _m обратной решетки. Показана структура четвертой зоны Бриллюэна.

В общем случае ясно, что областью периодичности решений в k - пространстве является элементарная ячейка обратной решетки с векторами b ₁, b ₂, b ₃. Чтобы учесть волны, распространяющиеся в противоположные стороны, область периодичности выбирают так, чтобы она имела центр симметрии. Существует известный способ построения ячеек, имеющих центр симметрии – построение Вигнера-Зейца: из выбранного узла нужно провести векторы к ближайшим узлам решетки и построить плоскости, перпендикулярные этим векторам и проходящие через их середину. Тогда область, которую ограничат все эти плоскости и будет центрированной элементарной ячейкой Вигнера-Зейца. Ячейка Вигнера-Зейца обратной решетки называется первой зоной Бриллюэна.

Необходимо подчеркнуть ряд важных свойств обратной решетки:

1. Вектор K _m= b ₁ m ₁ + b ₂ m ₂ + b ₃ m ₃обратной решетки перпендикулярен некоторому семейству плоскостей прямой решетки с индексами Миллера (m _1, m _2, m ₃) (см. рис. 29).

2. Модуль вектора | К _m | – обратно пропорционален расстоянию между плоскостями с индексами (m _1, m _2, m ₃) в прямом пространстве.

3. Размерность векторов обратной решетки – обратная длина (т.е. см^–1). Объем элементарной ячейки обратной решетки обратно пропорционален объему прямой решетки.

4. Прямая решетка обратна по отношению к своей обратной.

5. Обратная решетка – решетка в пространстве Фурье.

Рис. 28. Фурье анализ двумерного периодического распределения. Периодическую функцию, заданную в пространстве прямой решетки (например, электронную плотность r (r)) можно выразить через ряд Фурье r (r) =Sr_kexpi (K, r). Однако, ввиду периодичности функции r (r)выполнено r (r) =r (r+r_n)и, следовательно, можно написать r (r+r_n) =Sr_k× expi (K, r+r_n). Поскольку эти два ряда тождественно равны, должно быть выполнено: expi (K, r_n) º 1, то есть(K, r_n) = 2 p*целое число, что выполняется только, если вектор K является целочисленным вектором обратной решетки K _m=m ₁ b ₁ +m ₂ b ₂ +m ₃ b ₃, для которого скалярное произведение с целочисленным вектором прямой решетки равно целому числу 2 p: (K_m, r_n) = 2 p (n ₁ m ₁ +n ₂ m ₂ +n ₃ m ₃). Поэтому коэффициенты гармоник ряда Фурье r_k заданы только для узлов обратной решетки K_m. а) – двумерная функция r (r) задана с помощью эквипотенциальных линий, а само распределение электронной плотности взято в виде гауссова распределения. б) – значения амплитуд гармоник Фурье |r_Km| 10³в узлах обратной решетки вблизи начала Фурье-пространства для распределения заряда, приведенного на рис. 28 а. Квадраты этих амплитуд определяют интенсивности Лауэ рефлексов при рассмотрении дифракции рентгеновских лучей на плоской периодической структуре, изображенной на рисунке.

Рис. 29. Ортогональность целочисленного вектора обратной решетки K _m=m ₁ b ₁ +m ₂ b ₂ +m ₃ b ₃ и плоскости с индексами Миллера (m ₁, m ₂, m ₃). Плоскость, отсекающая отрезки a ₁ n ₁, a ₂ n ₂, a ₃ n ₃ на вообще говоря не ортогональных осях x ₁, x ₂, x ₃, задана векторами q ₁ и q ₂, и нормаль n к ней определяется векторным произведением n = 2 p [ q ₁, q ₂], которое, как легко показать, выражается через целочисленные вектора обратной решетки K _m. Наименьшие целые числа m ₁, m ₂, m ₃, которые соотносятся как обратные значения отрезков на осях 1 /n ₁, 1 /n ₂, 1 /n ₃, называются индексами Миллера.

Действительно, для периодической функции f (r) =f (r+r_n) справедливо разложение в трехмерный ряд Фурье:

Поскольку написанные разложения тождественно равны из-за периодичности функции f (r), то

exp[i(k, r)]=exp[i(k, r + r _n)]; exp[i(k, r _n)]º 1

и вектор k, по которому происходит разложение в ряд Фурье является целочисленным вектором обратной решетки K _m, т.к. только в случае k = K _m выполнено:

(K _m, r _n)=2 p (n ₁ m ₁+ n ₂ m ₂+ n ₃ m ₃)=2 p* (целое число).

Вид обратной решетки зависит от типа прямой. Для трехмерной простой кубической решетки обратная решетка также простая кубическая. Вектора прямой решетки равны и ортогональны, поэтому вектора обратной решетки также ортогональны и равны:

| a ₁ |=| a ₂ |=| a ₃ |=a;

| b ₁ |=| b ₂ |=| b ₃ |=b= 2 p/a.

Первая зона Бриллюэна (ячейка Вигнера-Зейтца) представляет собой куб с ребром 2 p/a. Вторая зона Бриллюэна для простой кубической решетки показана на рис. 30.

Для гранецентрированной кубической решетки (ГЦК – рис. 31) с постоянной a примитивные вектора трансляций, выраженные через орты i, j, k, таковы:

a ₁=a(i + k)/2;

a ₂=a(i + j)/2;

a ₃=a(j + k)/2.

На рис. 30 можно видеть, что любой атом структуры в такой решетке может быть получен заданием трех чисел n ₁, n ₂, n ₃

r _n= a ₁ n ₁ + a ₂ n ₂ + a ₃ n _3.

Рис. 30. Первая (a) и вторая (b) зоны Бриллюэна ГКЦ кубической решетки.

Рис. 31. Построение обратной решетки. а) Примитивные вектора трансляций прямой гранецентрированной кубической решетки (ГЦК) a ₁, a ₂, a ₃ не ортогональны, но, тем не менее, определяют любой узел решетки через целочисленный вектор трансляции r_n = a ₁ n ₁ + a ₂ n ₂ + a ₃ n ₃. Эти вектора задают примитивную элементарную ячейку, объем которой V составляет ¼ от объема элементарной кубической ячейки с постоянной a: V= (a ₁, [ a ₂, a ₃]) = a ³ /8× (i+k, [ i+j, j+k ]) =a ³ /8× 2 =a ³ / 4. б) Обратная решетка гранецентрированной кубической – объемоцентрированная и ее примитивные вектора трансляции b ₁, b ₂, b ₃. Возле каждого узла решетки указана тройка чисел, определяющего его через примитивные целочисленные вектора.

Рис. 32. Первая зона Бриллюэна: a) – объемоцентрированной кубической (ОЦК) решетки и б) – гранецентрированной кубической (ГЦК) решетки. Первая зона Бриллюэна получается путем построения плоскостей, ортогональных векторам, соединяющих данный узел решетки со всеми ближайшими, и проведенными через их середину. В случае объемоцентрированной обратной решетки (рис. 31 б) удобно сначала построить плоскости, перпендикулярные векторам, направленным ко вторым ближайшим соседям, которые находятся справа и слева, сверху и снизу, спереди и сзади от центрального узла на расстоянии 2p /a. В результате такого построения получится куб с ребром равным 2p /a. Построение плоскостей, ортогональных векторам к ближайшим соседям, которые находятся на пространственных диагоналях куба, приведет к отсечению восьми вершин куба и, в зависимости от расстояния до центра, дадут в сечении либо правильный треугольник, либо шестиугольник. Путем такого построения получится многогранник, показанный на рисунке. Вторая зона Бриллюэна занимает обратное пространство между первой зоной Бриллюэна и последующими плоскостями, ограничивающими замкнутую область. Объем второй и последующих зон Бриллюэна равен объему первой зоны.

Вектора обратной решетки b ₁, b ₂, b ₃ таковы:

Решетка, построенная на этих векторах, показана на рис.31 б. Она представляет собой объемоцентрированную кубическую решетку – каждый узел этой решетки может быть указан тремя числами m ₁, m ₂, m ₃, т.е. задан целочисленным вектором:

K _m = b ₁ m ₁+ b ₂ m ₂+ b ₃ m ₃

Таким образом, обратная решетка для гранецентрированной кубической решетки есть объемоцентрированная кубическая. Можно показать, что справедливо и обратное утверждение: обратная решетка объемоцентрированной кубической является гранецентрированная. Первая зона Бриллюэна для ГЦК и ОЦК решетки, построенная обычным путем (элементарная ячейка Вигнера-Зейца), показана также на рис.32.