Колебания трехмерной решетки

В общем случае трехмерной модели будем рассматривать решетку с элементарными трансляциями a ₁, a ₂, a ₃, в элементарной ячейке которой находятся S атомов. Размер кристалла в направлении трансляций a ₁, a ₂, и a ₃ будет составлять N=N ₁ N ₂ N ₃ трансляций, так что объем кристалла будет равен V=N (a ₁[ a _2, a ₃]). Положение каждого атома в кристалле можно задать с помощью вектора r ^l_n

r ^l _n= r _n+ r ^l; r _n= a ₁n₁+ a ₂n₂+ a ₃n_3.

Вектор r _n указывает на данную (n=n ₁, n ₂, n ₃) элементарную ячейку, а вектор r ^l на конкретный атом l массы m_l в этой ячейке. Смещение атома с номером n будем обозначать величиной u^l_na, a=x, y, z. Полное число степеней свободы системы равно 3 Ns. Используя разложение потенциальной энергии кристалла по степеням смещений и пренебрегая ангармоническими членами

,

можно написать уравнение движения для каждого из Ns атомов. Такая система связанных уравнений будет состоять из 3 Ns уравнений:

,

Решение этой системы дифференциальных уравнений ищется в виде функций Блоха:

.

Подстановка такого решения в систему 3 sN дифференциальных уравнений дает 3 s алгебраических уравнений для отыскания амплитуд A^l _a:

.

Можно ввести матрицу силовых постоянных

,

так что для неизвестных амплитуд система алгебраических уравнений будет выглядеть так:

.

Приравнивание к нулю определителя этой однородной системы приводит к характеристическому (или вековому) уравнению степени 3 s относительно w ². Решение его дает дисперсионную связь между частотой w и волновым вектором k волны. Поскольку должно быть 3 s корней, то существует 3 s зависимостей вида w_j (k), которые называются ветвями. Частоты w трех ветвей при k ®0 стремятся к нулю – эти ветви называются акустическими. Остальные 3 s – 3 ветви – оптические ветви.

Подставляя 3 s корней w_j (k) в систему однородных алгебраических уравнений для амплитуд получим с точностью до постоянного множителя 3 s различных решений для амплитуд A^l_a (k).

Матрица эрмитова, так что все корни векового уравнения вещественны (и положительны). Кроме того, т.к. , то вековoе уравнение инвариантно относительно замены k вектором – k, т.е. w_j (k) =w_j (– k) и A^l _a(k)= A * ^l _a(– k).