Двухпроводная электрическая линия

Примером системы с дисперсионной зависимостью, аналогичной дисперсионной зависимости цепочки связанных упругими силами масс, является цепочка из связанных контуров, состоящая из емкостей C и индуктивностей L (рис. 12).

Рис. 12. Двухпроводная электрическая линия: а) эквивалентная электрическая схема; б) уравнение токов в каждом из контуров; система этих N дифференциальных уравнений для N контуров полностью идентична системе уравнений, описывающих одноатомную цепочку, и проводит к аналогичной дисперсионной зависимости w (k), в) дисперсионная зависимость w (k), показывающая, что такая электрическая линия является фильтром низких частот с максимальной частотой пропускания w ² _max= 4 C^{– 1} /L.

Уравнения Кирхгоффа, описывающие круговые токи в каждом контуре и показывающие, что сумма падений напряжений на элементах контура равна ЭДС источника в замкнутом контуре, выглядят следующим образом:

.

Здесь учтено, что величина тока через конденсаторы представляет собой разницу между токами в n -м контуре и предыдущем n –1 или последующим n +1 контурах, а полное падение напряжений на элементах контура равно нулю, поскольку в цепи нет источников ЭДС. Дифференцирую это выражение, можно получить систему N дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих токи в электрической цепи:

.

Это система уравнений полностью аналогична системе механической линейной цепочки с массами m. Дисперсионное соотношение поэтому имеет такой же вид, как и у одномерной одноатомной цепочки, если произвести замену величины b/m на C^{– 1} /L:

.