Общая модель твердого тела. Гамильтониан

В основе наших представлений о твердом теле лежат следующие основные понятия: твердое тело естьсистема многих взаимодействующих частиц, динамика которых подчиняется законам квантовой механики; основой твердого тела является кристаллическая решетка, структура которой зависит от его свойств симметрии. Кристаллическое тело представляет собой совокупность огромного числа атомных ядер и электронов.

Проблему определения собственных состояний такой системы легко сформулировать, но, к сожалению, нельзя точно решить. Стационарные состояния кристалла описываются уравнением Шредингера:

HY (r_i, R_k) ЕY (r_i, R_k)

с гамильтонианом

Ĥ = Ĥ _el+ Ĥ _ion+ Ĥ _el-ion.

В этом выражении Ĥ _el – оператор кинетической и потенциальной энергии электронов, Ĥ _ion– оператор кинетической и потенциальной энергии ионов и Ĥ _el.ion – оператор, описывающий взаимодействие электонов с ионами.

.

Здесь r_i и r_j – координаты i -го и j -го электрона, R_k и R_l – координаты k -го и l -го иона или атомного остатка, первый член описывает кинетическую энергию электронов, второй – кинетическую энергию ядер. Оператор Ñ _i действует только на координаты электронов r_i, а Ñ _k только на координаты ядер R_k. Третий член – потенциальная энергия взаимодействия атомных остатков с зарядами Z_ke и Z_le между собой, а R_k и R_l – их координаты; следующий член – потенциальная энергия притяжения ядер и электронов, а последний член – энергия отталкивания электронов. Упрощение сформулированной задачи можно получить, учитывая различие в массах ядер и электронов, т.к. (m/M) < < 1.

Уравнение Шредингера содержит 3 ZN переменных, если через N обозначить число атомов в кристалле, а через Z – число электронов. Так как в 1 см³ содержится примерно 5*10²² атомов, то при Z, равному 10, число переменных составляет 5*10²³ см^–3.

Ясно, что такое уравнение не может быть решено в общем виде. Это связано не только с техническими вы­числительными трудностями, но и с трудностями принципиальными, поскольку современная квантовая механика по существу не имеет аппарата при решении задач для системы с большим числом частиц.