Распределение кристаллических классов по сингониям

Моноклинная система обладает 13 пространственными группами. Детальное описание 230 пространственных групп можно найти в справочном пособии по кристаллографии International tables for X-ray crystallography. Vol. 1 .Kynock Press, Birminghaim, 1952.

Рис. 3. Возможные базисы и пространственные группы в триклинной сингонии. Структура либо не имеет центра симметрии, хотя решетка его имеет, либо центр инверсии существует, если его имеет базис. Базис – группа атомов, связанная с каждой точкой решетки – в данном случае нарисован как группа неправильных треугольников, и отмечен на рисунке эллипсом.

Рис. 4. Возможные пространственные группы в классе C₂ моноклинной сингонии. Базис в каждом случае получается применением элементов симметрии класса (в данном случае либо преобразованием C₂-2 – поворотом на угол π вокруг вертикальной оси для группы C₂¹, либо винтовой операцией 2₁ – поворот на угол π с последующим сдвигом на вектор c/2 для группы C₂²). В базоцентрированной решетке базис связан также с центром двух противоположных граней.

СИММЕТРИЯ ПОЗИЦИИ (SITE–СИММЕТРИЯ).

При образовании кристалла атомы располагаются таким образом, что соответствующее образование описывается одной из 230 пространственных групп. Однако, симметрия поля, в котором находится каждый из атомов, может быть не одинакова. Рассмотрим элементарную ячейку некоторой пространственной группы. Если взять произвольную точку элементарной ячейки и применить к ней все элементы группы, то получим число точек, равное или меньшее числа порядка группы. Часть этих новых точек может оказаться в другой элементарной ячейке, т.е. атомы, занимающие эти точки, будут конгруэнтными основному. Другие точки могут оказаться в той же элементарной ячейке, и не будет конгруэнтными основному, т.е. не отличаются на вектор

t_n = а ₁ n ₁ + a ₂ n ₂ + a ₃ n ₃ .

Такие точки называются гомологическими, а атомы, занимающие их, – гомологическими атомами. Набор элементов симметрии пространственной группы, оставляющих данную точку инвариантной, т.е. переводящую ее саму в себя, носит название группы локальной симметрии или site–группой. Site–группа (группа положения) является, очевидно, подгруппой пространственной группы. Произвольно выбранная точка элементарной ячейки имеет, таким образом, по меньшей мере, симметрию C ₁ - 1.

Рис. 5. Построение пространственных групп в классе C_S моноклинной сингонии. Базис в каждом случае получается применением элементов симметрии класса. В данном случае либо применением операции зеркального отражения, либо операции отражения с последующим сдвигом на половину постоянной решетки.

Рис. 6. Построение пространственных групп в классе C_2h моноклинной сингонии. Базис в каждом случае получается применением элементов симметрии данного класса. Промежуточные моменты возникновения базиса данной симметрии помечены на рисунках стрелками с цифрами. Базис на рисунке заключен в эллипс.

В таком случае говорят, что она находится в общем положении. Однако если точка находится на одном из элементов симметрии пространственной группы, для некоторых операции симметрии преобразование окажется инвариантным. Такая точка имеет не тривиальную локальную симметрию. Тогда говорят, что она находится в частном положении. Применяя операции пространственной группы к произвольно выбранной точке, можно получить набор эквивалентных (гомологических) точек, из которых любая может быть превращена во все остальные применением операций симметрии пространственной группы, не входящих в site–группу.

Рис. 7. Пространственные группы триклинной сингонии C_i ¹- PI и C_i ² -PĪ и пространственные группы моноклинной сингонии кристаллических классов C ₂-2и C_S-m.

Число точек, составляющих набор, в общем случае равно числу операций симметрии, возможных для фактор-группы, однако для точек, имеющих не тривиальную локальную симметрию, такой набор может оказаться не полным. Число точек в наборе непосредственно связано с их симметрией. Если порядок site-группы s, а кратность набора t, то порядок фактор-группы h=st. Минимальная кратность набора t= 1 может быть только в симморфных группах (т.е. в группах без частичных трансляций). Максимальная кратность равна 192 в некоторых кубических группах. Если рассматриваемая точка находится в частном положении (т.е. на оси или плоскости), то различают частные положения с двумя, одной и без степеней свободы. Точка, лежащая на плоскости, обладает двумя степенями свободы, т.к. частное положение осуществляется в любой точке плоскости; точка, лежащая на поворотной оси, – одной степенью свободы: она может находиться в любом месте оси; точка, лежащая на пересечении двух или более элементов симметрии, не обладает ни одной степенью свободы.

Рис. 8. Пространственные группы моноклинной сингонии, т.е. расположение в пространстве элементов симметрии кристалла – поворотных осей, зеркальных плоскостей, винтовых осей, плоскостей зеркального скольжения. Возможные пространственные группы – C _2h¹- P 2/ m C _2h²- P 2₁/ m, C _2h³- C 2/ m, C _2h⁴- P 2/ c, C _2h⁵- P 2₁/ c и C _2h⁶- C 2/ c.

Возникновение групп локальной симметрии в простейших пространственных группах демонстрируется на рис. 9. В группе C_S ³ возможны только точки в общих положениях (симметрии C ₁) и на плоскости симметрии m. В первом случае применение возможных для данной группы преобразований отражения в плоскости m и отражения в плоскости скольжения создает совокупность четырех точек 1, 2, 3, 4 (набор точек). Для точек, лежащих на плоскости симметрии m возможно лишь применение отражения в плоскости скольжения, так что в наборе симметрии C_S существует только 2 точки. В пространственной группе C _S⁴ точечных элементов симметрии не существует. Поэтому в этой группе есть только набор из четырех точек, находящихся в общем положении (симметрии C ₁). Аналогично можно построить наборы локальных (site) точек в группах C _2h¹ и C _2h². Существование трансляционной симметрии в некоторых случаях приводит к наличию нескольких наборов точек, которые не связаны симметрией, т.е. не могут быть преобразованы друг в друга при применении элементов симметрии группы. Так, в группе C _2h¹ существует два не связанных симметрией набора точек, находящихся в частном положении C_S и C ₂ с двумя степенями свободы для site-группы C _S и с одной степенью свободы для site-группы C ₂. В каждом из этих наборов по две точки. Кроме этого в группе C _2h¹ существует два набора точек с локальной симметрией C_i, т.е. точек, лежащих на пересечении оси симметрии второго порядка и плоскости m. Такие точки лежат в частном положении без степеней свободы, т.е. их координаты точно указаны. В каждом из наборов для этой группы есть только одна точка.

Рис. 9. Локальные группы симметрии в некоторых пространственных группах.

В результате возникновения новых элементов симметрии в пространственной группе из–за пространственной периодичности кристалла наборы эквивалентных точек в элементарной ячейке могут быть повторены. Важно, чтобы все эквивалентные (гомологические) точки были заняты атомами одного типа, т.к. только в этом случае структура с данной симметрией может существовать. Таким образом, знание пространственной группы и числа атомов в элементарной ячейке может дать представление о симметрии локального поля, в котором конкретный атом находится. Данные по локальным группам можно найти в ряде пособий.