Примеры решения задач. Задачи к ККР по квантовой физике

Задачи к ККР по квантовой физике

1. Мощность излучения абсолютно черного тела кВт. Найти площадь излучающей поверхности тела, если максимум спектральной плотности его энергетической светимости приходится на длину волны нм.

Дано:	Решение:
ачт Вт м	Энергетическая светимость тела по определению: или для тела равномерно излучающего со всей поверхности : , где − мощность излучения, − площадь излучающей поверхности. Энергетическая светимость абсолютно черного тела согласно закону Стефана–Больцмана: где Вт/(м2∙ К4) − постоянная Стефана-Больцмана, − абсолютная температура ачт. Согласно закону смещения Вина: ; где − длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности ачт, − абсолютная температура ачт; м∙ К − постоянная в законе смещения Вина. Тогда температуру тела можно выразить, как ; и, соответственно, энергетическую светимость . Следовательно, площадь излучающей поверхности тела .
Ответ:	м.

2. Мощность излучения шара диаметром см при постоянной температуре К равна кВт. Считая шар серым телом, найти его поглощательную способность .

Дано:	Решение:
м Вт К	Энергетическая светимость тела по определению: или для тела равномерно излучающего со всей поверхности : , где − мощность излучения, − площадь излучающей поверхности шара. Энергетическая светимость абсолютно черного тела согласно закону Стефана–Больцмана: где Вт/(м2∙ К4) − постоянная Стефана-Больцмана, − абсолютная температура ачт. Энергетическая светимость серого тела связана энергетической светимостью ачт формулой: где − поглощательная способность серого тела. Тогда
Ответ:

3. Начальная температура абсолютно черного тела К. Найти изменение температуры тела , если наиболее вероятная длина волны в его спектре излучения увеличилась на мкм.

Дано:	Решение:
К м	Согласно закону смещения Вина: ; где − длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности ачт, т.е. наиболее вероятная длина волны в спектре излучения ачт, − температура тела; м∙ К − постоянная в законе смещения Вина. Так как , то . ; ; ; ; ;
Ответ:

4. Увеличение температуры равновесного излучения на К привело к изменению наиболее вероятной длины волны в его спектре на нм. Какова начальная температура равновесного излучения и длина волны соответствующая этой температуре?

Дано:	Решение:
К м	Для равновесного теплового излучения можно применять законы, описывающие излучение абсолютно черного тела. Согласно закону смещения Вина: ; где − длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности излучения, т.е. наиболее вероятная длина волны в спектре излучения, − температура равновесного излучения; м∙ К − постоянная в законе смещения Вина.. Так как температура равновесного излучения увеличилась, т.е. , то длина волны уменьшилась, т.е. . Тогда . Так как , то , следовательно, . Решим уравнение: ; ; ; ; Т.к. температура , то Соответствующая длина волны равна .
Ответ:	; .

5. Найти скорость электрона , при которой его импульс равен импульсу фотона с длиной волны пм.

Дано:	Решение:
МэВ кг фотон: пм	Импульс фотона: . Импульс релятивистского электрона: . Так как , то ; ; ;
Ответ:	м/с.

6. При какой длине волны фотона его импульс равен импульсу электрона с кинетической энергией МэВ?

Дано:	Решение:
МэВ кг МэВ фотон:	Импульс фотона: . Импульс релятивистского электрона: . Так как , то ;
Ответ:	пм.

7. При фотоэффекте с платиновой поверхности электроны полностью задерживаются разностью потенциалов В. Найти длину волны применяемого излучения и предельную длину волны , при которой еще возможен фотоэффект. Работа выхода электрона с поверхности для платины эВ.

Дано:	Решение:
Фотоэффект: В эВ	Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: ; − энергия падающего фотона; − максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона. Тогда ; Красная граница фотоэффекта:
Ответ:	нм; нм.

8. При поочередном освещении поверхности некоторого металла светом с длинами волн мкм и мкм обнаружили, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в раза. Найти работу выхода с поверхности этого металла.

Дано:	Решение:
Фотоэффект: при м при м	Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: ; − энергия падающего фотона; − максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона. Тогда для длин волн и падающих фотонов получим систему двух уравнений: Причем, так как , то , и значит, . Тогда ; ;
Ответ:	эВ.

9. При некотором минимальном значении задерживающей разности потенциалов фототок с поверхности лития, освещаемого светом с частотой , прекращается. Изменив частоту света в раза установили, что для прекращения фототока достаточно увеличить задерживающую разность потенциалов в раза. Чему равна частота падающего света и . Работа выхода электрона с поверхности лития эВ.

Дано:	Решение:
Фотоэффект: при при эВ	Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: ; − энергия падающего фотона; − максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона. Так как , то , т.е. . Тогда ; ; ; .
Ответ:	Гц; Гц.

10. Фотон с энергией МэВ рассеялся на покоившемся свободном электроне. Найти кинетическую энергию электрона отдачи, если в результате рассеяния длина волны фотона изменилась на .

Дано:	Решение:
комптоновское рассеяние МэВ	Комптоновское смещение длины волны, при рассеянии фотона на свободном электроне: ; − закон сохранения энергии для комптоновского рассеяния. и − энергии падающего и рассеянного фотона. Тогда .
Ответ:	МэВ.

11. Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на рассеивающее вещество. При этом длины волн смещенных составляющих излучения, рассеянного под углами и , отличаются друг от друга в раза. Считая, что рассеяние происходит на свободных электронах, найти длину волны падающего излучения.

Дано:	Решение:
комптоновское рассеяние при угле при угле	Комптоновское смещение длины волны, при рассеянии фотона на свободном электроне: . 1) При угле рассеяния фотона : . 2) При угле рассеяния фотона : . Следовательно, и , причем , то есть . Тогда ; ;
Ответ:	.

12. Фотон с длиной волны пм рассеялся на покоящемся свободном электроне так, что кинетическая энергия электрона отдачи составила от энергии налетающего фотона. Найти: а) комптоновское смещение длины волны рассеянного фотона ; б) угол , под которым рассеялся фотон.

Дано:	Решение:
комптоновское рассеяние м	Комптоновское смещение длины волны, при рассеянии фотона на свободном электроне: ; и − энергии падающего и рассеянного фотона. Тогда и − длины волн падающего и рассеянного фотона; − закон сохранения энергии для комптоновского рассеяния. Тогда ; ; Так как , то ;
Ответ:	м; .

13. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны нм. Определите энергию возбужденного состояния атома водорода и номер энергетического уровня.

Дано:	Решение:
Атом Н: основное состояние ; возбужденное состояние м	Первый способ: Обобщенная формула Бальмера для длины волны фотона в спектре излучения водородоподобного атома: ; где − зарядовое число для атома водорода; м-1 − постоянная Ридберга. Тогда ; . − номер возбужденного состояния атома водорода. − энергия возбужденного состояния атома водорода.   Второй способ: Согласно второму постулату Бора: энергия фотона, поглощенного атомом водорода при переходе из стационарного состояния с энергией в стационарное состояние с энергией : ; где − энергия основного состояния атома водорода; − энергия возбужденного состояния атома водорода. Тогда − номер возбужденного состояния атома водорода.
Ответ:

14. Найти энергию ионизации водородоподобных ионов, в спектре которых длина волны третьей линии серии Бальмера равна нм.

Дано:	Решение:
Водородоподобный ион третья линия серии Бальмера: м	Обобщенная формула Бальмера для длины волны фотона в спектре излучения водородоподобного атома: ; где м-1 − постоянная Ридберга. Для третьей линии серии Бальмера: : . Тогда зарядовое число водородоподобного атома: − ион гелия . Энергия электрона в стационарном состоянии в водородоподобном атоме эВ. Энергия ионизации водородоподобного атома: .
Ответ:	эВ.

15. У какого водородоподобного иона разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана нм?

Дано:	Решение:
Водородоподобный ион м	Обобщенная формула Бальмера для длины волны фотона в спектре излучения водородоподобного атома: ; где м-1 − постоянная Ридберга. Для головной линии серии Лаймана: : ; для головной линии серии Бальмера: : . Тогда ; − ион лития .
Ответ:	; ион

16. При каком значении скорости дебройлевская длина волны микрочастицы равна ее комптоновской длине волны?

Дано:	Решение:
	Длина волны де Бройля для частицы: ; где − импульс релятивистской частицы. Комптоновская длина волны частицы: . Так как , то ; ; ; .
Ответ:	м/с.

17. Определите, при какой кинетической энергии длина волны де Бройля протона равна его комптоновской длине волны (масса покоя кг, энергия покоя МэВ.)

Дано:	Решение:
протон: МэВ	Длина волны де Бройля для частицы: ; где − импульс релятивистского протона. Комптоновская длина волны протона: . Так как , то ; ; Решим квадратное уравнение: ; ; ; Так как кинетическая энергия протона , то МэВ.
Ответ:	МэВ.

18. Исходя из соотношения неопределенностей Гейзенберга, оценить неопределенность кинетической энергии нуклона в ядре атома. Линейные размеры ядра принять равными м. (Масса покоя протона и нейтрона кг)

Дано:	Решение:
кг м	Соотношение неопределенностей Гейзенберга: ; Т.к. неопределенность в определении положения нуклона в ядре атома примерно равна размерам ядра: , то неопределенность в определении импульса нуклона соизмерима с величиной импульса: . Кинетическая энергия нуклона ядре атома: ; Неопределенность кинетической энергии нуклона в ядре атома: ; Дж МэВ.
Ответ:	Дж МэВ.

19. Длина волны излучаемого атомом фотона равна мкм. Принимая время жизни атома в возбужденном состоянии с, оцените отношение естественной ширины энергетического уровня возбужденного состояния, к энергии фотона , излученного атомом.

Дано:	Решение:
мкм с	Для энергии и времени соотношение неопределенностей Гейзенберга: ; Т.к. , то . Энергия фотона: . . .
Ответ:	.

20. Состояние частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины , задано пси-функцией . Найдите нормировочный коэффициент волновой функции.

Дано:	Решение:
частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме	Вероятность того, что частица находится вблизи точки с координатой на интервале : ; Условие нормировки волновой функции : ; для частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины : , Тогда   , Следовательно, нормировочный коэффициент волновой функции равен .
Ответ:	.

21. Найти собственные значения оператора , принадлежащего собственной функции .

Дано:	Решение:
оператор собственная функция	Для оператора : , где − собственная функция оператора , − собственное значение оператора . Следовательно, собственное значение оператора : .
Ответ:	.

22. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины с абсолютно непроницаемыми стенками . Найти вероятность пребывания частицы в области .

Дано:	Решение:
частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме	Собственные волновые функции, описывающие движение частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной : ; для частицы в основном состоянии . Вероятность того, что частица находится вблизи точки с координатой на интервале : ; тогда вероятность пребывания частицы в области : .
Ответ:	.

23. Найти собственные значения оператора , принадлежащего собственной функции .

Дано:	Решение:
оператор собственная функция	Для оператора : , где − собственная функция оператора , − собственное значение оператора . Следовательно, собственное значение оператора : .
Ответ:	.

24. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины с абсолютно непроницаемыми стенками . Найти среднее значение кинетической энергии частицы .

Дано:	Решение:
частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме	Собственные волновые функции, описывающие движение частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной : ; для частицы в основном состоянии волновая функция частицы   Среднее значение кинетической энергии частицы : . Оператор кинетической энергии частицы: ; тогда . ; .
Ответ:	.

25. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти ширину ямы , если разность энергии между уровнями с и составляет эВ.

Дано:	Решение:
электрон в одномерной прямоугольной потенциальной яме эВ	Собственные значения энергии частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной : . Тогда ; м.
Ответ:	м.

26. Частица с энергией МэВ падает на бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой МэВ. Найти коэффициент отражения и коэффициент прозрачности этого барьера.

Дано:	Решение:
частица налетает на бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер: МэВ МэВ	Коэффициент отражения для бесконечно широкого прямоугольного потенциального барьера: ; где коэффициенты: и . Тогда ; ; . Коэффициент прозрачности для бесконечно широкого прямоугольного потенциального барьера: .
Ответ:	.

27. Для электрона с энергией эВ найти вероятность прохождения сквозь прямоугольный потенциальный барьер, ширина которого нм и высота эВ.

Дано:	Решение:
электрон налетает на прямоугольный потенциальный барьер: нм эВ эВ	Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера конечной ширины : . Тогда .
Ответ:	.

28. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины с абсолютно непроницаемыми стенками . Найдите среднее значение координаты частицы , если частица находится в состоянии, описываемом волновой функцией , где ─ нормировочный коэффициент волновой функции.

Дано:	Решение:
частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме ,	Среднее значение координаты частицы : . Оператор координаты частицы: ; волновая функция, описывающая состояние частицы в яме: ; комплексно сопряженная волновая функция: . Тогда для частицы одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины :
<== предыдущая лекция | следующая лекция ==> Частица в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме | НЗМ 9сыныпта биологияны қорытынды аттестаттауға арналған құрал жабдықтардың тізімі