Совместное решение системы алгебраических уравнений

Для линейных краевых задач система уравнений (7) линейна. Для ее решения обычно используется один из ниже перечисленных методов: Гаусса, Холецкого, Зейделя, сопряженных градиентов и, иногда, итерационные методы. Для нелинейных краевых задач система уравнений (7) нелинейна, поскольку матрица [K] является функцией определяемых неизвестных параметров . При решении нелинейной системы алгебраических уравнений используются итерационные методы. Пусть вектор найден. Тогда с помощью зависимостей (6) и (2а)

U(x, y, z) = можно найти функцию U(x, y, z) для всей области:

U(x, y, z) =

где - матрица координатных функций j _i.

Значения производных от функции U(x, y, z), которые могут интересовать также при решении краевых задач, определяются либо дифференцированием полученного выражения, либо непосредственно через угловые значения искомых производных.

ЛЕКЦИЯ№ 10. Обзор современных программ конечно-элементного анализа

На современном этапе развития науки и техники уже сложно представить проектирование изделий и конст­рукций без САПР. Наиболее ответственную роль среди всего многообразия САD/|САМ/САЕ-программ играют пакеты конечно-элементного анализа. Круг решаемых ими задач охватывает почти все сферы инженерных расче­тов: прочность, колебания, устойчивость, динамика, акустйка, гидродинамика, аэродинамика и т.д. Представить полный список специализаций конечно-элементных про­грамм, как и полный список всех пакетов программ конечно-элементного анализа (FEA - пакетов), фактически нереально. Однако провести краткий обзор наиболее рас­пространенных конечно-элементных программ не толь­ко возможно, но и необходимо. У пользователей (или потенциальных пользователей) FEA-пакетов зачастую складывается мнение о превосходстве одного пакета над другим, сформированное в большей степени отсутстви­ем информации о конкурирующих программных продуктах. Большую роль в этом играет то обстоятельство, что в большинстве технических вузов, официально использу­ющих только один из пакетов, даже и не рассматрива­ются возможности других.

Возникают необоснованные мифы о преимуществах и областях применения этих систем.

Бесспорно, лидером на рынке FEA-программ оказы­вается пакет АNSYS. Об этом говорит и количество ле­гальных пользователей (более миллиона), и заявленные большие возможности, и компании, использующие данный пакет, а также немалая цена (обычно ассоциируемая с высоким качеством) да и самые высокие требования к оборудованию (для версии 5.5.1 рекомендуется компьютер с 256 Мбайт оперативной и 96 Мбайт видеопамяти). Более детальное описание пакета АNSYS можно найти на офи­циальном сайте компании АNSYS — https://www.ansys.com или (русский, сокращенный вариант) на сайте российс­кого распространителя (компании САD-FEM-Russia)— https://www.cadfem.ru. Реальным достоинством этой сис­темы является наиболее полная документация и система помощи, что позволяет, имея хорошие базовые (напри­мер, по механике) знания, использовать программу без обращения в службу поддержки пользователей. Обилие конечных элементов (более 100) впечатляет, но применение некоторых из них по силам только очень квалифицированным специалистам. Большинство из обычных пользователей применяет их неправильно. Посмотреть архив подписки на систему мож­но по адресу https://www.onelist.com/archives.cgi/xANSYS/, подписаться — отправив е-mail (без заголовка и сооб­щения) по адресу xansys-subscribe@onelist.com.

Активность (около 15 сообщений в сутки) независимого от фирмы ANSYS списка рассылки обусловлена отсутстви­ем реальной поддержки фирмой своих пользователей.

В большинстве случаев на обращения по адресам support@ansys.com и info@ansys.com за помощью следу­ют необоснованные или бесполезные ответы, к приме­ру: «купите новую версию», или «пройдите наши фир­менные курсы», или «в вашей версии не предусмотрена эта возможность...», Интерфейс программы впечатляет (но только пользователей, работавших ранее с конечно-элементными программами), в целом значительно усту­пая (в простоте, удобстве, логичности использования) универсальному интерфейсу под более чем 60 различ­ных программ — FEMAP (разработчик Enterprise Software Products).

Сравниться с ANSYS (включая все его модификации в других пакетах) по количеству установок или легаль­ных пользователей может только группа конечно-эле­ментных программ с торговой маркой NАSTRAN (офи­циально марка принадлежит NАSA (Сosmic)). Эту мар­ку имеют такие наиболее распространенные пакеты: МSC/NASTRAN (компания МасNеаl-Schwendler Corporation) и UAI/NАSTRAN (компания Universal Analytics). Менее распространены NE/NASTRAN (компания Nогап Еngineering) и МЕ/NASTRAN (компания МасгоIndustries). В России официальным распространением и поддерж­кой пакета UAI/Nastran занимается фирма ТЕSIS, а поддержкой пакета МSС/NASTRAN — российское пред­ставительство компании МасNеаl-Schwendle Corporation. Несмотря на значительно более низкую цену, реальные возможности, пакетов фирм UAI, МSС, NЕ ни в чем не уступают пакету АNSYS, а иногда и превосходят в раз­витии и возможностях. Например, в течение более 5 лет в пакетах этих фирм доступен «предобусловленный ме­тод сопряженных градиентов Холесского» (в ANSYS не представленный до 1999 года) как наиболее точный и быстрый для решения матриц высокого ранга. Уступа­ют системе ANSYS пакеты NASTRAN, пожалуй, только ограниченным количеством поддерживаемых компьютер­ных платформ и операционных систем. Однако и этот недостаток оборачивается преимуществом, если учесть, что FЕМАР-oболочки, используемые этими пакетами, очень удачно интегрированы в системы Windows 95/98/NT (что для российского пользователя, наиболее акту­ально), а сами пакеты почти не требовательны к сис­темным ресурсам. Например, для одной из последних версий MSC/NASTRAN v70.5 минимально необходим процессор 486DХ, 16 Мбайт оперативной памяти и опе­рационная система Windows 95. Понятно, что при­ученные, например, к запросам! продвинутого текстового редактора Мicrosoft Word российские пользо­ватели, невольно засомневаются в возможностях подоб­ного пакета.

Рассмотрим два других пакета, имеющих своих пользо­вателей в России еще со времен «почтовых ящиков». Это Аlgor (в СССР попал с французским именем Аldan) — разработка компании Аlgor и пакет СOSMOS/М — разработка компании Structural Research and Analysis Corp. Эти пакеты не получили должного распространения.

По некоторым сведениям, с «оборонки» COSMOS/M был вытеснен пакетом UAI/NASTRAN, а Аlgor — пакетом Design Space (облегченный вариант пакета АNSYS). Чем была вызвана потеря рынка пакетом COSMOS/M — сложно сказать: за последние пять лет он достаточно эффективно переместился с дорогостоящей для россиян компьютер­ной платформы Sun на платформу Intel (Windows 95/98/NT).

А вот потеря России Algor’-а была достаточно логичной, Даже в последней, 13-ой вер­сии пикета Аlgor, несмотря на новый интерфейс SuperDrawIII, очень чувствуется старенькая восьмираз­рядная DOS.

Достаточно неприятно выглядят окна от расчетчиков и окна ввода дополнительной информации, сохранившиеся от версии МS-DOS vЗ.З. Зато в реклам­ных роликах программы, распространяемых на СD-RОМ и S-VHS, очень симпатичная девушка объясняет, как точно Аlgor рассчитывает задачи пластики, динамики и т.д., показан красивый Сгасh-тест стекла на удар.

Официальные распространители этих пакетов в России не известны, а использу­емая версия куплена непосредственно в США (соответ­ственно, отсутствует hotline-поддержка). Существующий список рассылки algor-user@onelist.com достаточно вял: как правило, около 2-3 сообщений в неделю, на задава­емые вопросы очень редко можно получить ответы. Об­ращение в официальную службу поддержки support@algor.com приводит к результатам, аналогичным с ANSYS.

Реальные независимые тесты всех рассмотренных про­грамм можно было найти на сервере https://www.nafems.com, однако особого различия как в скорости, так и в точности расчетов обнаружено не было. Одно из исключений — очень медленный генератор сеток Аlgor. По остальным параметрам различие всех программ колеблется в диа­пазоне 10%. ранее (до версии 5.5.x) АNSYS отставал в скорости расчета больших систем (более 100 000 урав­нении) от остальных FЕА-программ на 15% и более. Отсутствие значительного различия в быстродействии и точности FЕА-программ объясняется использованием стандартных и широко известных алгоритмов решения задач методом конечных элементов. Математический аппарат, используемый в этих пакетах, также одинаков и широко известен. Ожидать принципиального прорыва того или иного пакета не приходится.

Рассмотрим другой аспект применения программ конечно-элементного анализа в России. Ни для кого не секрет, что отечественные пользователи предпочитают использовать «пиратские» версии. В компьютерной прессе часто в связи с этим обсуждается тема отсутствия реального легального рынка программного обеспечения. Как с этим бороться? Как поднять еще одну сферу экономики, наиболее прогрессивную и интеллектуальную? Вопросы не из лёгких и, очевидно, не имеют простого и точного ответа. На рынке программ конечно-элемент­ного анализа постсоветские производители предлагали лишь один конкурентоспособный продукт — пакет «Лира». Сейчас о нем уже мало кто помнит, хотя по возможностям, этот пакет превосходил все известные аналоги, уступая лишь в качестве пост- и препроцессора.

Другой пакет- МАК, до 1990 года — Тhink, (автор Маслов А.А., разработчик — фирма «Уникон») по возможнос­тям намного превосходит, например, американский пакет STRAP аналогичной области применения, однако и этот пакет не нашел своего потребителя.

Очевидно, что российский рынок российские программные продукты не принима­ет. Однако для нормального процесса проектирования, хотя бы на завершающей стадии — создание отчетных документов, необходимо использование легальных про­граммных продуктов. Как быть, если покупка АNSYS (более 10 000долл.) не по карману? Пользоваться домо­рощенными программами? Но они никому не известны, а заказ может поступить и из-за рубежа! Тупик? Мо­жет, и да, для тех, кто не владеет информацией, для ос­тальных выход известен — применение апробированных, надежных, мощных freeware - и shreeware пакетов. Мно­гие знают о существовании огромного количества по­добных продуктов, а специалисты имеют представление о том, насколько высоко их качество. Достаточно при­вести примеры программ общепользовательского назна­чения: операционные системы Linux и freeВSD, Web-сервер Аррасhе, офисный пакет StarOffice, дизайнерский пакет СогеlDRAW (for Linux), Internet-пакет Nеtscope Соmmunicator и т.д. и т.п. Но не многие знают, что су­ществуют и freeware-программы конечно-элементного анализа. Далеко не полный их список можно найти на WеЬ-страницах.

Рассмотрим возможности таких программ.

DANFE - программа для анализа усилий, деформа­ций, напряжений и смещений в конструкциях методом конечных элементов. Программа предоставляется как откомпилированная (готовая к работе на персональном компьютере), так и в виде текстов, готовых к компиля­ции на любой компьютерной системе, имеющей Fогтгаn-компилятор.

Системные требования:

, • 1, 5 Мбайт дискового пространства для исходного текста

и кода программы;

• 2-50 Мбайт дискового пространства для данных;

• от 5 Мбайт оперативной памяти для 2D-задач и до 80 -Мбайт оперативной памяти для больших трехмерных нелинейных задач;

• операционная система: DOS, Windows, OS/2, НР-UХ, Solaris, Cray, Fusjitsu VPX, IBM RS/6000s;

Возможности:

• 18 различных типов элемента; (в том числе 4D с 32 вершинами и изменяемой во времени геометрией);

•шесть различных «точных» решающих устройств, включая разложение по Гауссу и метод Холесского, «косвен­ные (итерационные)» решающие устройства, в том числе предобусловленный метод сопряженных градиентов, оп­тимизированный для скалярных и векторных процес­соров;

• все материалы могут быть нелинейны (по фон Мизесу, Треске, Мору-Кулону), вязкопластичны, как с ос­таточными деформациями, так и без оных. Программа существует и развивается более 30 лет, раз­рабатывается в университете Манчестера, Великобрита­ния (University оf Мапсhester UK), группой исследова­телей, возглавляемой профессором И.М.Смитом (I.M.Smith). Имеются графические пост/препроцессоры. Для справок и получения текста можно обратиться по е-mail: d.kidger@man.ac.uk(Dr. D.J.Kidger). Программу можно скачать бесплатно с ftp: //golden.eng.man.ac.uk/pub/fe/dansoft/. Документация и примеры доступны по https://www.man.ac.uk/~mbgasdk/.

По многим из параметров эта про­грамма превосходит коммерческие. По­вторим «изюмин­ки»: доступен ис­ходный текст, под­держка многопро-цессорности (ставим под Linux на двух-процессорной mainboard и рассчи­тываем конструк­ции быстрее, чем АNSYS на Sun-системах), наличие элементов с изме­няемой во времени

геометрией (эффекты самонапряжения, текучести, релак­сации без внешних воздействий), солидный период (больше, чем АNSYS) апробации, авторитетный для всего мира про­изводитель.,

Другая программа — Мefisto, разработчик — лабора­тория численного анализа университета Пьера и Марии Кюри (Париж, Франция), адрес Web-сервера— https://www.ann.jussieu.fr. Существуют версии для платформ: DЁС, IBM, SUN, РС. Работает под UNIIX-системами при на­личии библиотеки XII (для Linux и FreeBSD— стан­дартно поставляемая библиотека). Требования: 16 Мбайт оперативной памяти, 40 Мбайт дисковой памяти для вы­полняемых файлов, 128 Мбайт виртуальной (дисковой) памяти для временных файлов. Распространяется в двух вариантах:

• для конкретной системы и платформы как откомпи­лированный модуль; |

• в исходном тексте на Fortran77.

Интересный факт, что текст программы (в последней редакции от июля 1999 года) содержит 267 319 строк (более километра распечатки на рулонной бумаге с плотностью 12 строк на дюйм), из которых 117 132 строки — ком­ментарии! Имеется: «Руководство пользователя по пост/ препроцессору», «Руководство пользователя «Механика», «Руководство пользователя «Теплодинамика» и т.д. Очень большие возможности программы проще проиллюстри­ровать в примерах пост/препроцессоров (рис. 1, 2).

Да, существуют универсальные, мощные, специали­зированные и бесплатные программы конечно-элемент­ного анализа! Вы можете самостоятельно подобрать их (из нескольких десятков легкодоступных) с необходи­мыми для вас возможностями и законно использовать!

Приятной особенностью бесплатных программ являет­ся помощь разработчиков при проблемах в использовании, неприятной — отсутствие реакции на простые вопросы, описанные в документации. В коммерческих продуктах, наоборот, служба поддержки с удовольствием процитиру­ет вам руководство пользователя, но промолчит и ответ на сложный вопрос! Другой важный момент: покупая ком­мерческую конечно-элементную программу, вы покупае­те черный ящик, что там — неизвестно, вы можете упо­вать только на добросовестность разработчика. В бесплатных программах, наоборот, вы можете не только проверить весь текст программы, но и изменить некоторые участки,

Резонно возникает вопрос: а зачем тогда покупать дорогие пакеты? Наверное, из-за повышенной (гаран­тированной) надежности результата? Уточним, прочитав лицензионное соглашение одной (но характерное для всех) коммерческой конечно-элементной программы::

«...X) ХХХХХ \уаггаш: 8 1Ьа1 Ше рго§гатп, \уЬеп (1е1гуегес1 авй шйаИес!, т11 сопГогт 1о 1: Ье 8ресШса1юп8 8е1 тог(11 ш 1Ье сип-еЩ сюситептаИоп. ТН18 18 ТНЕ (ЖЬУ \УАК.КАМТУ ОР АМУ Кто, ЕХРК.Е88ЕО ОК 1МРЕ1ЕВ, тСЕиОШС -ГНЕТМРЕ1ЕП \УАККАМТ1Е8 ОР МЕКСНАНТАВТЕГГУ АМО Р1ТМЕ88 РОК РЦК.Р08Е ТНАТ ХХХХХ МАКЕ5.

X) Весаи8е г1и8 1& ап Еуа1иатюп 8у81еш, \уе ргоу1ае, по таю1епапсе ог виррой. Тшк 8у& 1ет 15 1о Ье икей Гог еуа1иащоп ригровёв оп1у...»,

В свободном переводе на русский язык это звучит примерно так: «...х) продаем что есть, сделанное как умели и как знали».

х) никакой ответственности за результаты не несем, результаты расчетов только для ознакомления...»

Впечатляет?

Наверное, коммерческие программы более точно счи­тают? Сомнительно, теория одна, алгоритмы одинако­вые, более того, можно утверждать, что как коммерчес­кие, так и бесплатные программы одинаково неточно считают!

Развитие метода конечных элементов обусловлено взаимосвязью трех факторов: наличием высокопроизводительной вычислительной техники; разработкой математических моделей исследуемых явлений, адекватных реальным процессам с достаточной степенью точности; особенностями самого метода [26].

Первые программные комплексы, в которых реализован метод конечных элементов, были разработаны в 60-х годах. К ним относятся STRUDL-II, SAP-IV, NONSAP, ASKA, NASTRAN, SESAM-69 и другие. Появлению этих универсальных программных систем в силу особенностей метода конечных элементов предшествовало создание высокопроизводительных электронно-вычислительных машин, таких, например, как IBM-370. Начиная с конца 70-х годов в СССР появилось несколько десятков программных комплексов для разных ЭВМ, в которых был реализован МКЭ. К их числу относятся МИРАЖ, МОРЕ, КАСКАД-2, ПРОЧНОСТЬ-75, МКЭ/20, МАРС, ПАРСЕК, ЛИРА, СПРИНТ, FEA и ряд других программ.

В США и ряде других стран дальнейшее развитие МКЭ и необходимость в проведении расчетов конструкций на прочность также способствовали дальнейшему развитию уже созданных программных комплексов и разработке новых. Были разработаны сотни программных комплексов, предназначенных для приближенного решения самых разнообразных задач не только из области механики деформируемого твердого тела, но и из таких областей как гидродинамика, акустика, электротехника и т.д. Наибольшее распространение из них получили: ABAQUS, ADINA, ASKA/DYNAN, ANSYS, MARC, MSC/NASTRAN [35], EUFEMI, COSMOS, HERCULE, MODULEF, SAP-7, LS-DYNA.

Отметим, что разработка программных комплексов является дорогостоящим делом. Поэтому, как правило, организации и фирмы – собственники разработанных программ, рассматривают их как коммерческий научно-технический продукт. Регулярно печатаемые обзоры существующих комплексов программ и их характеристик, сведения о программах в отраслевых фондах алгоритмов и программ позволяют пользователям программной продукции целенаправленно выбирать необходимые для их деятельности программы расчета.

У каждой программы есть свои сильные и слабые стороны при расчете конкретной конструкции. Выбор программы расчета зависит от подготовленности пользователя в своей научной области, типа решаемой задачи, типа доступной ЭВМ, размерности задачи и других факторов.

К критериям, помогающим сделать выбор, следует отнести следующие факторы:

- программа широко используется;

- в программе используются новейшие научные достижения;

- программа коммерчески вполне доступна;

- имеется подробная и понятная документация.

Ознакомление с программной документацией и доступной литературой с описанием программы и ее элементов позволяют сделать окончательный вывод о целесообразности выбора программного комплекса.

Для МКЭ характерны особенности, которые следует учитывать при выборе и разработке программы расчета. Такими особенностями являются большие объемы исходных данных, промежуточных и окончательных результатов расчета. Поэтому расчет по МКЭ состоит из трех основных этапов:

- разработка расчетной конечно-элементной схемы и подготовка исходных данных;

- проверка самого расчета;

- обработка результатов расчета.

Каждый этап является самостоятельной задачей. На первом этапе самое существенное заключается в создании начальной конечно-элементной расчетной модели, исходя из инженерной интуиции о поведении конструкции. В последствии эта модель может корректироваться на основе анализа результатов расчета. Корректировка модели может выполняться и программным путем, если такая возможность реализована в используемом программном комплексе. Подготовка исходных данных осуществляется, как правило, с помощью программ генераторов сеток конечных элементов, образующих блок подготовки данных.

Схема организации расчета по МКЭ.

Проведение расчета (этап 2) осуществляется расчетным блоком, в котором используется тот или иной алгоритм расчета методом конечных элементов. Как правило, расчетный блок состоит из ряда программных модулей, каждый из которых выполняется на определенном шаге алгоритма. В простейшем случае программной реализации МКЭ для линейной статической краевой задачи теории упругости расчетный блок содержит следующую последовательность шагов:

- ввод исходных данных (например, подготовленных программой-генератором в отдельном файле);

-вычисление матриц жесткостей конечных элементов;

- формирование глобальной матрицы жесткости полной структуры;

- формирование глобального вектора нагрузок;

- решение системы линейных алгебраических уравнений;

- вычисление перемещений узлов сетки конечных элементов, деформаций и напряжений в произвольных точках конечных элементах.

На различных шагах расчетного блока включаются проверки правильности исходных данных и результатов промежуточных вычислений (диагностика ошибок), программные модули выбора сочетаний нагрузок, действующих на конструкцию, определение площади сечений арматуры в железобетонных конструкциях и другие. Диагностика ошибок на этапе выполнения программы является важной, так как при своевременном обнаружении ошибки прекращаются вычисления, что приводит к экономному использованию ресурсов ЭВМ.

Эффективное использование ЭВМ достигается также за счет разработки специальных методов решения стандартных математических задач, учитывающих специфику МКЭ, и, в первую очередь, ленточность и разреженность матрицы жесткости расчетной модели конструкции.

Расчет напряженно-деформированного состояния конструкции в рамках линейной теории упругости при действии на нее статических нагрузок сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. В конечно-элементных комплексах программ используются разнообразные методы решения больших систем уравнений.

Различные варианты метода Гаусса реализованы в программах ADINA (блочный метод Гаусса), ASKS, SAP-7 (ленточный метод Гаусса), NASTRAN (L^TDL - декомпозиция). Эффективным является фронтальный метод, реализованный в программах ABAQUS, ANSYS и др. Методы суперэлементов и редукции базиса позволяют существенно сократить время вычисления [18]. Эффективными являются также итерационные методы.

Расчет собственных колебаний конструкции выполняется методами: итерации в подпространстве (SAP-7), вычисления корней характеристического определителя (NASTRAN), Хаусхолдера с использованием метода Якоби (ASKA), Гивенса и QR-метода (NASTRAN), Hiber-Hughes (ABAQUS), Ланцоша (PKM). При расчет динамического отклика используются методы: представления решения в виде суперпозиции форм собственных колебаний, шаговые – Вилсона, Ньюмарка (ABAQUS, ADINA, SAP-7, NASTRAN). Решение геометрически и физически нелинейных задач осуществляется, как правило, итерационными методами, основу которых составляет метод Ньютона-Рафсона в сочетании с шаговыми методами (ABAQUS, ADINA, NASTRAN, ANSYS, LASTRAN и др.).

Следует отметить, что принцип модульности программирования, использованный в программных комплексах, позволяет создавать как универсальные вычислительные программы, так и промышленные для решения узкого класса задач. На первых этапах освоения МКЭ разрабатывались в основном промышленные вычислительные программы. Они эффективны, если решается большое количество вариантов однотипных задач, либо выполняется большой объем вычислений для качественного и количественного исследования явлений, связанных с новой постановкой задачи. Тенденция развития вычислительной техники, приведшая к созданию персональных ЭВМ и новых информационных технологий, оказала влияние на разработку программного обеспечения МКЭ. Программные комплексы по МКЭ активно используются в системах автоматизированного проектирования, базирующихся на персональных ЭВМ (AutoCAD/MechanicalDesktop, Pro-Engineer).