Лекція 7 . Розв’язання зворотної задачі кінематики маніпулятора. Методи точного і наближеного розв’язання зворотної задачі

Розв’язання зворотної задачі кінематики для деякої ланки маніпулятора зводиться до розв’язання рівняння С_z = T₃₂C₃ відносно вектора узагальнених координат Q = [q₁, q₂, …q_n]^T.

Положення й орієнтацію захвату в системі координат, пов’язаній з основою робота, визначає матриця перетворення

Г_n = T₁₀T₂₁…T_n(n–1) = , (7.2)

яке можна представити у вигляді

(7.2)

де С – вектор початку відліку системи координат 0_nx_ny_nz_n, що зв’язана з центром захвату;

А – вектор орієнтації,

В – вектор підходу захвату,

АхВ – векторний добуток.

Розташування вказаних векторів показана на рисунку.1. Елементи матриці Г_і визначають дванадцятимірний вектор-стовпець:

Х_і = [Г₁₁, Г₁₂, Г₁₃, Г₁₄, Г₂₁, Г₂₂, Г₂₃, Г₂₄, Г₃₁, Г₃₂, Г₃₃, Г₃₄, Г₄₁, Г₄₂, Г₄₃, Г₄₄], (7.3)

що називається вектором положення і-тої ланки маніпулятора.

Точний метод полягає у розв’язанні системи нелінійних рівнянь зв’язку заданого вектора Х_ізд положення у декартовій системі координат, зв’язан ій з основою робота, з вектором положення Х_і(q) в узагальнених координатах:

Х_ізд = Х_і(q),

що отримують шляхом прирівнювання аргументів вектора положення

Г_jk.зад = Г_jk(q); j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3, 4. (7.4)

Гранично є дванадцять рівнянь зв’язку.

Точне розв’язання – у вигляді однозначних аналітичних залежностей узагальнених координат від геометричних параметрів маніпулятора і проекцій векторів А, В, С на осі системи 0xyz одержують на для всіх кінематичних схем. Наприклад, матриця перетворення для центра захвату маніпулятора, що працює у полярній сферичній системі координат, має вигляд:

.

Оскільки в цьому прикладі розглянуто триступеневий маніпулятор, то для точного розв’язання зворотної задачі достатньо розв’язати систему з трьох рівнянь зв’язку відносно положення центра захвату в просторі (координат радіус-вектора С) Г_jзд = Г_j4(q), j = 1, 2, 3 у вигляді

.

Розв’язок дає:

q₁ = θ _z = arctg(C_yзд/С_хзд),

q₂ = θ _у1 = arctg ,

q₃ = ℓ _х2 = C_хзд/sinθ _y1,