Пример 5

PV = 5млн.р.; FV = 7млн.р.; n=0, 5 года;

Определить эффективность вложения, если iбанк = 70%

Определение срока операции

Дано: PV; FV; i (d)Определить: n (t) =?

Срок больше года

Срок меньше года (t)

Пример 6.

PV = 10млн.р.; FV=15 млн.р.;

а)i = 20%; б)i = 200%;

Определить: n (t)=?

Пример 6 (продолжение).

PV = 10млн.р.

а)i = 20%;

Определить: срок удвоения стоимости

Проблемы практики расчетов

n 1. Определение срока для операций меньше года (t/Y):

n Точные проценты – t и Y исчисляются точно по календарным дням

n Банковские проценты – t - точно по календарным дням; Y – условно (360 дней в году);

n Коммерческие проценты - t и Y принимаются условно – 30 дней в месяце и 360 дней в году.

Пример 7.

Дано: PV = 10т. руб.;

Срок операции 1год. Год не високосный;

i = 10%

Определить: FV=? (тремя способами)

Решение:

А) точные проценты

FV= 10 (1 + (365/365) х 0, 1) = 11т.р.

б) банковские проценты
FV = 10(1+(365/360) х 0, 1) = 11, 0139т.р. в)коммерческие

FV= 10 (1 + (360/360) х 0, 1) = 11т.р

Процентные начисления с использованием постоянного делителя (дивизора)

Пример 8

Постоянные суммы и сроки их хранения:

n 200т.р. – 25.05. – 07.07. (43 дня)

n 250т.р. – 07.07.-10.11.(126 дней)

n 170т.р. – 10.11. – 01.12. (21 день)

n Процентные числа: 200х43=8600

n 250х126=31500

n 170х21= 3570

n Дивизор: 360/0, 08=4500

n I = (840+31500+3570) / 4500 = 9, 705т.р.

n FV = 170 + 9, 705 = 179, 705т.р.

Понятие эквивалентности

Эквивалентность простых процентных и учетных ставок

Простая процентная ставка эквивалентная простой учетной ставке

Простая учетная ставка эквивалентная простой процентной ставке

Пример 9.

Дано: t = 3 месяца; (коммерческие проценты)

а) d = 100%;

б) i = 120%

Сравнить эффективность операций.

Решение.

i = х 100 = 133, 3%

1 – (3/12) х 1, 0 =133, 3% > 120%

Эквивалентность денежных сумм

Пример 10.

Дано: PV1=100т.р.; n1 = 0

FV2=200т.р.; n2 = 1

i = 10%

Что предпочтительнее?

Сложные проценты

Задача наращения по сложной

Процентной ставке

Период начисления один год

Срок больше года

1 год - FV = PV+PV i = PV(1+i)

2 года - FV = PV(1+i)+PV (1+i)i = PV(1+i)(1+i) = РV(1+i)²

3 года - FV = PV(1+i) ² +PV(1+i) ² i = PV(1+i)(1+i)(1+i)=РV(1+i) і

n лет - FV = PV(1+i)(1+i)……….(1+i) =РV(1+i)ⁿ

Формула сложных процентов

N-целое число

FV = PV(1+i)ⁿ

(1+i)ⁿ - множитель наращения

Формула сложных процентов

1)n< 1FV = PV(1+i)ⁿ (1 +ni)> (1+i)ⁿ

2)n = а + в;

где а – целое число лет;

в – дробное число лет

FV = PV(1+i)^а(1+вi)

Рост денежных средств при начислении простых и сложных процентов

Пример 1.

Дано: PV = 10т.р. i=10%

а) n = 2; n =1/2; n = 2, 5;

Определить: FV =?;

Решение.

а) FV = 10(1 + 0, 1) ² = 12, 1т.р

б) FV = 10(1 + 0, 1) ^1/2 = 10, 488т.р

FV = 10(1 + ½ 0, 1) = 10, 5т.р

в) FV = 10(1 + 0, 1) ² (1 + ½ 0, 1) = 12, 705т.р

FV = 10(1 + 0, 1) ^{2, 5} = 12, 690т.р

Период начисления меньше года

(m-кратное начисление процентов)

Jm – номинальная ставка, начисляемая m-раз в год

Продолжительность операции один год:

на конец первого периода начисления –

FV = PV+PVj/m= PV(1+j/m)

Через m-периодов (конец года)

FV = PV(1+j/m)^m

Продолжительность операции n - лет:

FV = PV(1+j/m) ^{(m х n)}

Эффективная процентная ставка

(эквивалентная)

(1 + iэ) ⁿ = (1+j/m)^mn

(1 + iэ) = (1+j/m)^m

iэ = (1+j/m)^m –1

Вычисление номинальной ставки, начисляемой m-раз в год на основе эффективной ставки.

Пример 2.

Дано: PV = 10т.р.

а) i=10% б) J2 = 10%; в) J4 = 10%;

г) J12 = 10%;

Определить: FV =?; iэ =?

Решение.

а) FV = 10(1+0, 1) = 11, 0т.р

Пример 2. Продолжение

б) FV = 10(1+0, 1/2) ² = 11, 025т.р.

iэ = (1+0, 1/2) ² –1 = 10, 25%

в) FV = 10(1+0, 1/4) ⁴ = 11, 038т.р.

iэ = (1+0, 1/4) ⁴ –1 = 10, 38%

г) FV = 10(1+0, 1/12) ¹² = 11, 047т.р.

iэ = (1+0, 1/12) ¹² –1 = 10, 47%