Экспериментальное определение коэффициента восстановления

Величина k определяется экспериментально. Рассмотрим, например, шар, свободно падающий на плиту с предварительно измеренной высоты Н. Определим высоту его подъема h после удара.

Тогда по формуле Галилея , а и, следовательно, .

Для некоторых материалов значения коэффициента восстановления (при скоростях соударения порядка 3 м/сек)составляют: дерево о дерево – 0, 5, сталь о сталь – 0, 56, слоновая кость о слоновую кость – 0, 89, стекло о стекло – 0, 94.

Прямой центральный удар двух тел (удар шаров)

При соударении двух тел удар называется прямым и центральным, если общая нормаль к поверхностям тел в точке касания проходит через их центры масс и если скорости центров масс в начале удара направлены по этой общей нормали. Таким, в частности, будет удар двух однородных шаров, центры которых до удара движутся вдоль одной и той же прямой. В противном случае удар называется косым.

Обозначим массы соударяющихся тел т ₁ и т ₂, скорости их центров масс в начале удара V ₁ и V ₂, а в конце удара – u ₁ и u ₂. Проведем через центры масс C ₁ и С ₂ координатную ось х, направленную всегда от C ₁ к С ₂. Тогда, чтобы произошел удар, должно быть выполнено условие (иначе первое тело не догонит второе). Кроме того, должно выполняться условие , так как ударившее тело не может опередить ударяемое. Легко проверить, что эти неравенства выполняются и в случаях, когда оба тела движутся влево или навстречу друг другу.

Считая m ₁, т ₂, и k известными, найдем . Для этого применим теорему об изменении количества движения к соударяющимся телам, рассматривая их как одну систему. Тогда ударные силы, действующие между телами, будут внутренними, и имеет место выражение .

В результате первое из уравнений (4) дает

.

Второе уравнение найдем из выражения для коэффициента восстановления. При соударении двух тел интенсивность удара (ударный импульс) зависит не от абсолютного значения скорости каждого из тел, а от того, насколько скорость ударяющегося тела больше скорости тела ударяемого, т. е. от разности (скорости сближения). Поэтому при ударе двух тел, если учесть, что всегда , а , получим:

(6)

или

. (7)

Уравнение (7) позволяет решить поставленную задачу. Ударный импульс, действующий на соударяющиеся тела, найдем, составив уравнение для какого-нибудь одного из тел, например, для первого:

.

Последнее равенство следует из третьего закона Ньютона.

Рассмотрим два предельных случая.

Абсолютно неупругий удар (k = 0). В этом случае из уравнения (6) находим, что оба тела после удара движутся с одной и той же скоростью:

.

Действующий на тело ударный импульс при этом равен

.

Абсолютно упругий удар (k = 1). В этом случае будем иметь:

Действующий на тело ударный импульс при этом равен

.

Как видим, при абсолютно упругом ударе ударный импульс вдвое больше, чем при абсолютно неупругом. В частном случае, когда т ₁ = т ₂ = т, получаем

.

Таким образом, два тела одинаковой массы при абсолютно упругом ударе обмениваются скоростями.

Пример. Два шара с массами т ₁ и т ₂ подвешены так, как показано на рисунке. Первый шар отклоняют от вертикали на угол a и отпускают без начальной скорости. После удара второй шар отклоняется на угол b. Найти коэффициент восстановления для шаров при ударе.

Решение.

По данным задачи можно определить скорость V ₁ центра первого шара в начале удара и скорость V ₂центра второго шара в конце удара. По теореме об изменении кинетической энергии (на перемещении первого шара) находим:

,

где – расстояние центра шара от точки подвеса.

Отсюда

.

Аналогично находим, что

.

Вследствие того, что в нашем случае V ₂ = 0, имеем:

.

Исключая из этих уравнений u _{1 x} и замечая, что , а , получим:

.

Отсюда окончательно находим:

.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Тарг, С. М. Краткий курс теоретической механики: учеб. для втузов / С. М. Тарг – 12-е изд., стереотип. – М.: Высшая школа, 1998. – 415 с.

2. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики: учебник для втузов. В 2-х т. / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. – 3-е изд., испр. – М., 1985 (и последующие издания).

3. Яблонский, А. А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учеб. пособие для втузов / А. А. Яблонский, С. С. Норейко, С. А. Вольфсон и др. / под ред. А. А. Яблонского. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1985. – 367 с. (и последующие издания).

4. Мещерский, И. В. Сборник задач по теоретической механике: учеб. пособие для втузов / И. В. Мещерский / под ред. Н. В. Бутенина, А. И. Лурье, Д. Р. Меркина. – 36-е изд., испр. – М.: Наука, 1986. – 448 с.

5. Бать, М. И. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для втузов. В 3-х т. / М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. – 9-е изд., перераб. – М.: Наука, Гл.. ред. физ.-мат. лит., 1990.

6. Вильке, В. Г. Теоретическая механика: учебник / В. Г. Вильке. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Изд-во МГУ, 2000. – 719 с.

7. Голубев, Ю. Ф. Основы теоретической механики: учебник для студ. высш. учеб. заведений / Ю. Ф Голубев.– 2-е изд., перераб. и доп.–М.: МГУ, 2000. – 719 с.

8. Цивильский, В. Л. Теоретическая механика: учеб. для вузов / В. Л. Цивильский. – М.: Высшая школа, 2001. – 319 с.

9. Яблонский, А. А. Курс теоретической механики: учеб. для тех. вузов / А. А. Яблонский, В. М. Никифорова. – 7-е. изд. – СПб: Лань, 1999. – 768 с.

10. Аркуша, А. И. Руководство к решению задач по теоретической механике: учеб. пособие для студ. сред. спец. учеб. заведений / А. И. Аркуша. – 7-е изд., стереотип – М.: Высшая школа, 2004. – 336 с.: ил.

11. Мещерский, И. В. Задачи по теоретической механике: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / И. В. Мещерский. – 39-е изд., стереотип. – М.: Лань, 2002. – 448 с.

12. Уиттекер, Э. Т. Аналитическая динамика / пер. с англ.– Ижевск: Изд. дом «Удмуртский университет», 1999. – 588 с.

13. Арнольд, В. И. Математические методы классической механики: учебное пособие для студ. / В. И. Арнольд. – 5-е. изд., стереотип.– М.: УРСС, 2003. – 416 с.

14. Серегин, Г. В. Техническая механика. Теоретическая механика: программа, методические указания и контрольные работы / Г. В. Серегин, В. М. Потапов, Е.Н. Миронов. – Новосибирск: Изд. НГПУ, 1997. – 47 с.

15. Потапов, В. М. Основы техники: учебное пособие / В. М. Потапов, В. В. Крашенинников. – Новосибирск: Изд. НГПУ, 1999. – 52 с.

16. Потапов, В. М. Введение в прикладную механику: учебное пособие / В. М. Потапов, В. В. Крашенинников, И. Н. Лукина, Е. Н. Миронов. – Новосибирск.: изд. НГПУ, 2003. – 180 с.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................................................... 3

Лекция 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ. АКСИОМЫ СТАТИКИ 5

Лекция 2. РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ........................ 11

Лекция 3. РАВНОВЕСИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ................................................................................................... 22

Лекция 4. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ............................................................ 29

Лекция 5. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА................ 40

Лекция 6. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (определение скоростей).......................................................................... 47

Лекция 7. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (определение ускорений).......................................................................... 55

Лекция 8. ДИНАМИКА ТОЧКИ................................................................. 60

Лекция 9. ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ...................... 66

Лекция 10. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ............................................................. 73

Лекция 11. ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ (кинетический момент) системы относительно центра и оси....................................... 77

Лекция 12. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 82

Лекция 13. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА....................................................... 91

Лекция 14. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА – ЛАГРАНЖА (общее уравнение динамики)............. 99

Лекция 15. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА II-ГО РОДА............................ 107

Лекция 16. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ.... 116

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА...................................................... 125

Учебное издание

Александр Михайлович Красюк

Александр Всеволодович Кириллов