Тема 3. Вектори та координати

Література: [1], с.73-124; [3], с. 54-64; [7], с.86-110; [9], с. 21-30.

1. Поняття вектора. Рівні, колінеарні, компланарні вектори. Орт вектора.

Вектори в ПДСК (координати, довжина, напрямні косинуси).

Приклад. Побудувати вектори в системі координат:

а) , ;

б) , , .

Визначити орти векторів і . Вказати їх напрямні косинуси.

2. Лінійні операції над векторами: сума, різниця, добуток вектора на число в геометричному зображенні та координатах.

Приклад 1. При яких значеннях сталих та вектори

а) ; ;

б) ;

рівні: ?

Приклад 2. Обчислити ; , вектори , ; , , задані в пункті 1.

3. Скалярний добуток двох векторів: означення, властивості, обчислення, геометричний зміст, координатна форма.

Приклад 1. Визначити кут між векторами: і .

Приклад 2. При якому значенні сталої вектори , перпендикулярні?

4. Векторний добуток двох векторів: означення, властивості, обчислення, геометричний зміст, координатна форма.

Приклад 1. Обчислити векторний добуток векторів , та площу трикутника, побудованого на цих векторах.

Приклад 2. При яких значеннях сталих та вектори , колінеарні?

5. Мішаний добуток трьох векторів: означення, властивості, обчислення, геометричний зміст, координатна форма. „Ліва” та „права” трійка векторів.

Приклад 1. Для заданих векторів , , визначити:

а) мішаний добуток .

б) яку трійку векторів вони утворюють;

в) об’єм піраміди, побудованої на векторах , , .

Приклад 2. При якому значенні сталої вектори , , компланарні?

Тема 4. Лінійні простори та лінійні оператори

Література: [3], с. 37-47; [9], с. 34-45.

1. Поняття, приклади і найпростіші властивості векторногопростору.

2. Лінійна залежність системи векторів. Базис і розмірність векторного простору.

3. Координати вектора у векторному просторі. Розкладання вектора за базисом.

Приклад 1. Довести, що вектори , утворюють базис у тривимірному просторі та знайти координати вектора в цьому базисі.

4. Лінійний оператор та його матриця.

5. Власні значення і власні вектори лінійного оператора.

Приклад 1. Знайти власні значення і власні вектори матриці:

: ; : ;

: ; : ;

: ; : ;

: ; : ;

: ; : .

Тема 5. Лінії на площині та у просторі

Література: [1], с.142-152, с.162-170; [3], с. 64-86; [7], с. 111-135.

1. Предмет, метод та задачі аналітичної геометрії.

Приклад 1. Для заданих точок , визначити:

а) відстань ;

б) точку , що поділяє проміжок у відношенні ;

в) точку , що є серединою відрізка .

Приклад 2. Для заданих точок , визначити:

а) відстань ;

б) точку , що поділяє проміжок у відношенні ;

в) точку , що є серединою відрізка .

2. Математичний опис геометричних об’єктів. Поняття про лінію на площині та її рівняння. Різні форми рівняння прямої на площині. Взаємне розташування прямих на площині.

Приклад 1. Побудувати прямі , .

Визначити:

а) точку перетину цих прямих;

б) кут між ними.

Приклад 2. Для заданих прямих , визначити сталу , при якій прямі:

а) паралельні;

б) перпендикулярні.

Приклад 3. Визначити відстань від точки до прямої .

3. Різні форми рівнянь площини у просторі. Неповні рівняння площини. Взаємне розташування двох площин у просторі. Відстань від точки до площини.

Приклад 1. Для площини визначити:

а) вектор, перпендикулярний до площини;

б) точку на заданій площині.

Приклад 2. Визначити кут між площинами:

, .

Приклад 3. При яких значеннях сталих та площини і паралельні?

Приклад 4. При якому значенні сталої площини і перпендикулярні?

4. Різні види рівнянь прямої у просторі. Взаємне розташування двох прямих у просторі. Взаємне розташування прямої і площини.

Приклад 1. Для прямих , визначити:

а) напрямні вектори;

б) кут між прямими.

Приклад 2. При якому значенні сталої прямі і перпендикулярні?

Приклад 3. При яких значеннях сталих та прямі

,

паралельні?

Приклад 4. Для прямої та площини

визначити:

а) точку перетину;

б) кут між прямою та площиною.

5. Поняття лінії другого порядку. Еліпс, гіпербола, парабола. Їх властивості, канонічні рівняння.

Приклад. Визначити числові характеристики та побудувати криві:

а) ; в) ; д) .

б) ; г) ;

6. Поняття поверхні другого порядку. Поверхні другого порядку: сфера, еліпсоїд, гіперболоїди, параболоїди. Циліндричні, конічні поверхні. Поверхні обертання.

Приклад. Визначити вид поверхонь в просторі та намалювати їх:

1) ; 5) ; 9)

2) ; 6) ; 10)

3) ; 7) ; 11)

4) ; 8) ; 12) .

4. Рекомендації до організації самостійної роботи

Кафедра вищої математики ДУІКТ пропонує кожному студенту врахувати наступні рекомендації:

1. Враховуючи свої індивідуальні особливості та можливості, обчислити реальний час для самостійної роботи у семестрі та частину цього часу на вивчення лінійної алгебри та аналітичної геометрії. Для якісного засвоєння навчальної програми студенту-заочнику потрібно біля 70 академічних годин.

2. Придбати зошит на 50-75 сторінок і оформити його титульний лист так:

Робочий зошит

з лінійної алгебри та аналітичної геометрії на 1 семестр

студента (студентки) 1 курсу, групи ________,

факультету Інформаційної безпеки

_________________________________

^{(прізвище, ім’я, по-батькові)}

залікова книжка № __________

Зошит

початий ______ закінчений ________

перевірений викладачем ________ __________________

^{(підпис) (прізвище та ініціали)}

Дата _______

3. Для вивчення матеріалу певного розділу програми студенту потрібно:

а) уважно прочитати рекомендовані сторінки підручників, ознайомитись із змістом екзаменаційних завдань відповідного розділу, щоб визначити його основу та типові приклади;

б) в робочому зошиті записати стислі відповіді на усі завдання розділу, що вивчається з обов’язковим розв’язуванням заданих прикладів ( – номер варіанту, який визначається за останньою цифрою номера залікової книжки: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10).

4. Коли виникають труднощі у відповідях на теоретичні завдання або при розв’язуванні прикладів, треба відповідний матеріал знову знайти у підручнику (або в додатковій літературі), ознайомитися повторно, більш уважно і, при необхідності, з викладачем на консультації.

Зауваження 1. Для виконання третьої рекомендації студенту потрібно 7-10 астрономічних годин. Доцільно цю роботу виконати в один день.

Зауваження 2. Кожному студенту буде дозволено під час семестрового екзамену користуватись лише своїм власноруч написаним робочим зошитом.

5. Критерії оцінювання знань та вмінь студентів

Поточна семестрова робота кожного студента буде оцінюватись викладачем до екзамену:

0 – 40 балами з врахуванням наявності та якості робочого зошита.

На екзамені кожен екзаменаційний білет міститиме 3 завдання (теоретичних і практичних) із різних розділів програми.

Кожне теоретичне питання буде оцінюватись 0 – 5 балами, а кожен приклад – 0 – 15 балами.

Семестрова оцінка залежить від загальної кількості балів і складає:

„Відмінно”, якщо кількість балів більше 89;

„Добре”, якщо кількість балів 66–89;

„Задовільно”, якщо кількість балів 50–65;

„Незадовільно”, якщо кількість балів менше 50.

Отже, якісна поточна семестрова робота дозволить студенту одержати високу екзаменаційну оцінку.