Устойчивость САР. Алгебраические критерии устойчивости.

Критерии устойчивости Рауса–Гурвица.

Алгебраические критерии устойчивости позволяют по корням характеристического уравнения А(р) судить об устойчивости системы: А(р)=anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0, здесь А(р) – знаменатель В свою очередь алгебраические критерии устойчивости делятся на: Критерий устойчивости Рауса. Критерий устойчивости Гурвица. Критерий устойчивости Рауса: для асимптотической устойчивости системы управления необходимо и достаточно выполнение условий Рауса: an > 0 an-1 > 0 > 0 и т.д. Критерий устойчивости Гурвица: для асимптотической устойчивости системы управления необходимо и достаточно, чтобы при an > 0 все диагональные определители матрицы Гурвица были > 0:  1=an-1> 0  2=an-1an-2-anan-3 > 0...  n=a0 n-1 > 0 Для первого и второго порядков условия Рауса и Гурвица требуют положительности всех коэффициентов уравнения. Критерий устойчивости Рауса наиболее экономичен по объему вычислений, удобен для программирования, поэтому широко применяется для анализа задач устойчивости на ЭВМ. Эти критерии позволяет рассчитывать пакет прикладных программ ТАУ-2. Алгебраические критерии не позволяют судить об удалённости системы от границ устойчивости. Интуитивно эту удаленность можно оценить силой неравенств.

Критерии устойчивости Рауса–Гурвица

Критерий устойчивости Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицом. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких, как критерий устойчивости Найквиста — Михайлова. Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком - необходимость выполнения операции вычисления определителя, которая связана с определенными вычислительными тонкостями (например, для больших матриц может появиться значительная вычислительная ошибка).

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы.

Пусть — передаточная функция системы, а U(s) = 0 — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином U(s) в виде

U(s) = a_0 s^n + a_1 s^{n-1} +... + a_n

где s - оператор Лапласа.

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от A1 до An;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше \ n ставятся нули.

Анализируя условие критерия Гурвица, можно заметить его избыточность. Число неравенств можно уменьшить в два раза, используя теорему Льенара — Шипара. Впрочем, в вычислительном отношении сложность критерия уменьшается не существенно, так как при вычислении минора высокого порядка чаще всего необходимо вычисление миноров низших порядков.

К вопросу об автоматизации метода

Метод Гурвица, который часто называют методом Рауса — Гурвица, очень удобен для определения устойчивости звеньев при помощи ЭВМ.

Ниже приведён пример автоматизации работы метода с использованием одного из самых распространённых языков для технических вычислений MATLAB версии 5.3 с его синтаксисом.

Представленная ниже функция выполняет все необходимые вычисления. Для работы её необходимо поместить в текстовый файл с расширением.m и именем, совпадающим с именем самой функции, в данном случае имя файла должно быть raus_gur.m.